Determine se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes.
{(n+1)(n+2)}/(2 n^2), n=1 até +infinito

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por {(n+1)(n+2)}/(2 n^2), n=1 até +infinito. O assunto aqui é limites de sequências, que faz parte do estudo de cálculo. Para resolver, vamos precisar saber como calcular o limite de uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador. A expressão pode ser expandida assim:
Então, a sequência fica:

Passo 3

Agora, vamos dividir cada termo do numerador e do denominador por para facilitar o cálculo do limite:
Simplificando cada fração:

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento de cada termo quando tende ao infinito:
  • continua sendo .
  • tende a porque o denominador cresce sem limite.
  • também tende a pelo mesmo motivo.

Passo 5

Somando os limites dos termos:

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é .

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