Determine se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência definida por
. O assunto aqui é limites de sequências, que faz parte do estudo de cálculo. Para resolver, vamos precisar saber como calcular o limite de uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o numerador. A expressão
pode ser expandida assim:
Então, a sequência fica:
Passo 3
Agora, vamos dividir cada termo do numerador e do denominador por
para facilitar o cálculo do limite:
Simplificando cada fração:
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento de cada termo quando
tende ao infinito:
-
continua sendo . -
tende a porque o denominador cresce sem limite. -
também tende a pelo mesmo motivo.
Passo 5
Somando os limites dos termos:
Resposta
A sequência é convergente e seu limite é
.