integral1^4 x^4 ln x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o integral . Esse exercício está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente usando a técnica de integração por partes. Para isso, vamos precisar identificar partes da função que serão e na fórmula de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Precisamos escolher e de forma que a integração fique mais simples após aplicar a fórmula.

Passo 3

Vamos escolher:
u = ln x Rightarrow du = 1x dx
dv = x^4 dx Rightarrow v = integral x^4 dx = x^55
Escolhemos porque sua derivada, , simplifica a expressão, e é fácil de integrar.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral1^4 x^4 ln x , dx = ln x cdot x^55 |1^4 - integral1^4 x^55 cdot 1x dx
Simplificamos a expressão substituindo e .

Passo 5

Simplificando a segunda integral:
integral1^4 x^55 cdot 1x dx = 15 integral1^4 x^4 dx
Agora, temos uma integral mais simples para resolver.

Passo 6

Calculando a primeira parte da expressão:
ln x cdot x^55 |1^4 = 4^55 ln 4 - 1^55 ln 1
Sabemos que , então essa parte simplifica para .

Passo 7

Calculando a segunda integral:
15 integral1^4 x^4 dx = 15 x^55 |1^4 = 125 (4^5 - 1^5) = 4^5 - 125

Passo 8

Juntando tudo:
integral1^4 x^4 ln x , dx = 4^55 ln 4 - 4^5 - 125
Podemos simplificar ainda mais se desejarmos.

Resposta

integral1^4 x^4 ln x , dx = 4^55 ln 4 - 4^5 - 125

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