Encontre uma fórmula para o termo geral das seguintes sequências:
{1, 1.2.3, 1.2.3.4.5, 1.2.3.4.5.6.7, ...}

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma sequência de números onde cada termo é formado por uma multiplicação de vários números. O objetivo é encontrar uma fórmula que nos diga qual é o termo geral dessa sequência, ou seja, uma fórmula que, para qualquer posição , nos dê o valor do termo nessa posição. Para isso, vamos precisar entender como os termos estão sendo formados e aplicar conceitos de fatorial, que é uma operação matemática que multiplica uma série de números consecutivos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos que foram dados na sequência:
  • Termo 1:
  • Termo 2:
  • Termo 3:
  • Termo 4:
  • E assim por diante…
Perceba que cada termo está sendo formado por uma multiplicação de números consecutivos começando em 1. O número de multiplicadores aumenta conforme a posição do termo na sequência.

Passo 3

Vamos identificar o padrão no número de multiplicadores:
  • Termo 1: 1 número
  • Termo 2: 3 números
  • Termo 3: 5 números
  • Termo 4: 7 números
Vemos que o número de multiplicadores em cada termo é ímpar e aumenta de 2 em 2. Isso significa que para o -ésimo termo, teremos multiplicadores. Por exemplo, para :

Passo 4

Agora, sabendo que temos multiplicadores, que são todos os números de 1 até , podemos usar a fórmula do fatorial para representar isso. O fatorial de um número , representado por , é o produto de todos os números inteiros positivos de 1 até .
Então, o -ésimo termo da sequência pode ser representado por:

Passo 5

Vamos verificar se essa fórmula funciona com os termos que já conhecemos:
  • Para :
    Confere com o Termo 1.
  • Para :
    E de fato, , que é o Termo 2.
  • Para :
    E , que é o Termo 3.
Tudo está batendo certinho!

Resposta

A fórmula para o termo geral da sequência é:

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