Encontre uma fórmula para o termo geral das seguintes sequências:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma sequência de números onde cada termo é formado por uma multiplicação de vários números. O objetivo é encontrar uma fórmula que nos diga qual é o termo geral dessa sequência, ou seja, uma fórmula que, para qualquer posição
, nos dê o valor do termo nessa posição. Para isso, vamos precisar entender como os termos estão sendo formados e aplicar conceitos de fatorial, que é uma operação matemática que multiplica uma série de números consecutivos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os termos que foram dados na sequência:
- Termo 1:
- Termo 2:
- Termo 3:
- Termo 4:
- E assim por diante…
Perceba que cada termo está sendo formado por uma multiplicação de números consecutivos começando em 1. O número de multiplicadores aumenta conforme a posição do termo na sequência.
Passo 3
Vamos identificar o padrão no número de multiplicadores:
- Termo 1: 1 número
- Termo 2: 3 números
- Termo 3: 5 números
- Termo 4: 7 números
Vemos que o número de multiplicadores em cada termo é ímpar e aumenta de 2 em 2. Isso significa que para o
-ésimo termo, teremos
multiplicadores. Por exemplo, para
:
Passo 4
Agora, sabendo que temos
multiplicadores, que são todos os números de 1 até
, podemos usar a fórmula do fatorial para representar isso. O fatorial de um número
, representado por
, é o produto de todos os números inteiros positivos de 1 até
.
Então, o
-ésimo termo da sequência pode ser representado por:
Passo 5
Vamos verificar se essa fórmula funciona com os termos que já conhecemos:
-
Para
: Confere com o Termo 1. -
Para
: E de fato,, que é o Termo 2. -
Para
: E, que é o Termo 3.
Tudo está batendo certinho!
Resposta
A fórmula para o termo geral da sequência é: