Determine quais das sequências abaixo são crescentes, decrescente, estritamente crescente ou estritamente decrescente. Quais delas são limitadas?
d)
d)
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a sequência
é crescente, decrescente, estritamente crescente, estritamente decrescente e também verificar se ela é limitada. Vamos precisar entender um pouco sobre sequências numéricas e como analisar o comportamento delas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada termo da sequência
. O
alterna o sinal da sequência conforme
aumenta:
- Se
é ímpar, , então . - Se
é par, , então .
Vamos calcular os primeiros termos para visualizar melhor:
-
-
-
-
- E assim por diante…
Passo 3
Agora, vamos analisar se a sequência é crescente ou decrescente. Uma sequência é crescente se cada termo é maior ou igual ao anterior, e estritamente crescente se cada termo é maior que o anterior. O mesmo vale para decrescente e estritamente decrescente.
Observando nossos termos:
- De
para : está aumentando. - De
para : está diminuindo. - De
para : está aumentando.
Percebemos que a sequência não segue um padrão consistente de aumento ou diminuição. Ela alterna entre valores positivos e negativos que aumentam em valor absoluto, mas mudam de direção.
Passo 4
Como a sequência não está apenas aumentando ou apenas diminuindo, concluímos que ela não é nem crescente nem decrescente. Também não é estritamente crescente ou estritamente decrescente pelos mesmos motivos.
Passo 5
Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Uma sequência é limitada se existe um número que seja um limite máximo e outro que seja um limite mínimo para todos os seus termos.
No nosso caso:
- Quando
aumenta, os valores de ficam cada vez maiores em valor absoluto: - Não há um valor máximo ou mínimo que limite esses números, pois eles vão para infinito positivo e negativo.
Resposta
A sequência
não é nem crescente nem decrescente e não é limitada.
Exercícios relacionados
(a) Use as definições de
e
para mostrar que
.
Expresse pelo seu termo geral
, cada uma das seguintes sequências.
(e)
(e)
Determine a derivada das funções dadas.
(b)
(b)
Diferencie a função a seguir, fornecendo a região apropriada na qual as funções são analíticas. Justifique suas respostas.
©
©