Determine quais das sequências abaixo são crescentes, decrescente, estritamente crescente ou estritamente decrescente. Quais delas são limitadas?
d)

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a sequência é crescente, decrescente, estritamente crescente, estritamente decrescente e também verificar se ela é limitada. Vamos precisar entender um pouco sobre sequências numéricas e como analisar o comportamento delas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada termo da sequência . O alterna o sinal da sequência conforme aumenta:
  • Se é ímpar, , então .
  • Se é par, , então .
Vamos calcular os primeiros termos para visualizar melhor:
  • E assim por diante…

Passo 3

Agora, vamos analisar se a sequência é crescente ou decrescente. Uma sequência é crescente se cada termo é maior ou igual ao anterior, e estritamente crescente se cada termo é maior que o anterior. O mesmo vale para decrescente e estritamente decrescente.
Observando nossos termos:
  • De para : está aumentando.
  • De para : está diminuindo.
  • De para : está aumentando.
Percebemos que a sequência não segue um padrão consistente de aumento ou diminuição. Ela alterna entre valores positivos e negativos que aumentam em valor absoluto, mas mudam de direção.

Passo 4

Como a sequência não está apenas aumentando ou apenas diminuindo, concluímos que ela não é nem crescente nem decrescente. Também não é estritamente crescente ou estritamente decrescente pelos mesmos motivos.

Passo 5

Agora, vamos verificar se a sequência é limitada. Uma sequência é limitada se existe um número que seja um limite máximo e outro que seja um limite mínimo para todos os seus termos.
No nosso caso:
  • Quando aumenta, os valores de ficam cada vez maiores em valor absoluto:
  • Não há um valor máximo ou mínimo que limite esses números, pois eles vão para infinito positivo e negativo.

Resposta

A sequência não é nem crescente nem decrescente e não é limitada.

Exercícios relacionados

(a) Use as definições de e para mostrar que .
Expresse pelo seu termo geral , cada uma das seguintes sequências.
(e)
Determine a derivada das funções dadas.
(b)
Diferencie a função a seguir, fornecendo a região apropriada na qual as funções são analíticas. Justifique suas respostas.
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