(a) Use as definições de e para mostrar que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar as definições de e para mostrar que:
Aqui, estamos trabalhando com identidades trigonométricas, especificamente envolvendo senos e cossenos de ângulos somados e subtraídos. Vamos precisar lembrar de algumas fórmulas de multiplicação de senos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos usar uma identidade trigonométrica que relaciona o produto de senos com a diferença de cossenos. A identidade é:
Essa fórmula nos ajuda a transformar o produto de dois senos em uma diferença de cossenos, o que vai facilitar a comparação com o lado direito da equação que queremos provar.

Passo 3

No nosso caso, temos e . Vamos substituir esses valores na identidade que vimos:

Passo 4

Agora, vamos simplificar as expressões dentro dos cossenos:
Para o primeiro cosseno:
Para o segundo cosseno:

Passo 5

Substituindo esses resultados de volta na equação, temos:

Passo 6

Lembrando que no enunciado da questão há um fator de 2 multiplicando os senos, vamos multiplicar ambos os lados da equação por 2:

Resposta

Então, mostramos que:

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Expresse pelo seu termo geral , cada uma das seguintes sequências.
(e)
Em cada caso abaixo, determine os cinco primeiros termos da sequência:
(e)
Determine quais das sequências abaixo são crescentes, decrescente, estritamente crescente ou estritamente decrescente. Quais delas são limitadas?
d)
Determine a derivada das funções dadas.
(b)