Determine se as sequências convergem ou divergem; se convergir, calcule seu limite.
(1 + 1/n)^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente descobrir se a sequência (1 + 1/n)^n converge ou não. Se ela convergir, a gente também precisa encontrar o limite. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites de sequências e a famosa constante matemática e.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a sequência (1 + 1/n)^n. Aqui, para cada número natural n, a gente calcula e depois eleva esse resultado à potência n. Conforme n aumenta, queremos saber para onde esses valores estão indo.

Passo 3

Para descobrir se a sequência converge, a gente vai calcular o limite quando n tende ao infinito. Em termos matemáticos, queremos encontrar:
Esse tipo de expressão é bem conhecida e está relacionada à definição da constante e.

Passo 4

A constante e é um número irracional aproximadamente igual a 2.71828, e é muito importante no cálculo, especialmente em funções exponenciais e logaritmos naturais. De fato, essa sequência que estamos analisando é uma das formas mais comuns de definir e.

Passo 5

Sabemos que:
Isso significa que, conforme n cresce, o valor de se aproxima cada vez mais de e.

Resposta

A sequência (1 + 1/n)^n converge e seu limite é .

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