Determine se as sequências convergem ou divergem; se convergir, calcule seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente descobrir se a sequência
converge ou não. Se ela convergir, a gente também precisa encontrar o limite. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites de sequências e a famosa constante matemática
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a sequência
. Aqui, para cada número natural
, a gente calcula
e depois eleva esse resultado à potência
. Conforme
aumenta, queremos saber para onde esses valores estão indo.
Passo 3
Para descobrir se a sequência converge, a gente vai calcular o limite quando
tende ao infinito. Em termos matemáticos, queremos encontrar:
Esse tipo de expressão é bem conhecida e está relacionada à definição da constante
.
Passo 4
A constante
é um número irracional aproximadamente igual a 2.71828, e é muito importante no cálculo, especialmente em funções exponenciais e logaritmos naturais. De fato, essa sequência que estamos analisando é uma das formas mais comuns de definir
.
Passo 5
Sabemos que:
Isso significa que, conforme
cresce, o valor de
se aproxima cada vez mais de
.
Resposta
A sequência
converge e seu limite é
.
Exercícios relacionados
Determine a solução da equação de Laplace no quadrado
satisfazendo as condições de contorno
e
, em que
Resolva as seguintes integrais
Verifique se as equações são equações diferencias ordinárias e caso afirmativo, indique o grau e o tipo de equações.
Qual a notação para descrever as seguintes funções?
b) associa cada número real ao seu quadrado menos 1 .
b)