Determine se as sequências convergem ou divergem; se convergir, calcule seu limite.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente descobrir se a sequência converge ou não. Se ela convergir, a gente também precisa encontrar o limite. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites de sequências e a famosa constante matemática .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a sequência . Aqui, para cada número natural , a gente calcula e depois eleva esse resultado à potência . Conforme aumenta, queremos saber para onde esses valores estão indo.

Passo 3

Para descobrir se a sequência converge, a gente vai calcular o limite quando tende ao infinito. Em termos matemáticos, queremos encontrar:
Esse tipo de expressão é bem conhecida e está relacionada à definição da constante .

Passo 4

A constante é um número irracional aproximadamente igual a 2.71828, e é muito importante no cálculo, especialmente em funções exponenciais e logaritmos naturais. De fato, essa sequência que estamos analisando é uma das formas mais comuns de definir .

Passo 5

Sabemos que:
Isso significa que, conforme cresce, o valor de se aproxima cada vez mais de .

Resposta

A sequência converge e seu limite é .

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