Determine a solução da equação de Laplace no quadrado satisfazendo as condições de contorno e , em que

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Laplace no quadrado . O que isso significa é que queremos encontrar uma função que satisfaça a equação de Laplace dentro do quadrado, respeitando as condições nas bordas: e , onde é uma função definida por partes. Para resolver isso, vamos usar métodos de separação de variáveis e séries de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a equação de Laplace. Ela é dada por:
Essa equação descreve situações onde não há fontes ou sumidouros, como em potenciais estáticos na física.

Passo 3

Agora, vamos supor que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de e outra que depende só de :
Essa é a técnica de separação de variáveis, que facilita resolver a equação de Laplace.

Passo 4

Substituindo na equação de Laplace, temos:
Dividindo ambos os lados por :
Como as duas partes dependem de variáveis diferentes, cada uma delas deve ser igual a uma constante negativa, digamos .

Passo 5

Isso nos leva a duas equações ordinárias:
Aqui, é uma constante de separação que teremos que determinar usando as condições de contorno.

Passo 6

Vamos resolver a equação para :
A solução geral dessa equação é:
Onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 7

Aplicando a condição de contorno :
Isso implica que , já que não é trivial. Usando a expressão de :
Portanto, , e a solução de simplifica para:

Passo 8

Agora, resolvemos a equação para :
A solução geral dessa equação é:
Onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 9

Aplicando as condições de contorno :
Para :
Para :
Substituindo :
Para ter uma solução não trivial, precisamos que , o que só acontece se . Mas isso levaria a soluções constantes, que não satisfazem todas as condições de contorno. Portanto, revisaremos nosso método e consideraremos uma expansão em série de Fourier.

Passo 10

Em situações como essa, onde uma das condições de contorno é uma função não constante ( ), usamos séries de Fourier para expandir em termos das funções próprias da equação de Laplace que atendem às outras condições de contorno.
Vamos assumir que a solução geral é uma soma infinita de soluções de separação de variáveis:
Aqui, é um número inteiro positivo, e são os coeficientes que vamos determinar.

Passo 11

Para encontrar os coeficientes , aplicamos a condição de contorno :
Podemos reescrever isso como:
Onde . Agora, são os coeficientes da série de Fourier seno para .

Passo 12

Vamos calcular os coeficientes usando a fórmula da série de Fourier seno:
Dado que é uma função por partes, precisamos dividir a integral de acordo com os intervalos de definição de :

Passo 13

Calculando as integrais:
Primeiro, para :
Usamos integração por partes, onde e .
Depois, para :
Novamente, aplicamos integração por partes com e .
Após resolver essas integrais, obtemos os valores de .

Passo 14

Com os coeficientes determinados, podemos expressar como:
Substituindo de volta na expressão para :

Passo 15

Finalmente, substituímos na expressão de :
Essa é a solução geral da equação de Laplace no quadrado com as condições de contorno dadas.

Resposta

A solução da equação de Laplace no quadrado que satisfaz as condições de contorno fornecidas é dada por:
Essa expressão representa a solução em série de Fourier para o problema proposto.

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