Determine a solução da equação de Laplace no quadrado
satisfazendo as condições de contorno
e
, em que
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de Laplace no quadrado
. O que isso significa é que queremos encontrar uma função
que satisfaça a equação de Laplace
dentro do quadrado, respeitando as condições nas bordas:
e
, onde
é uma função definida por partes. Para resolver isso, vamos usar métodos de separação de variáveis e séries de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a equação de Laplace. Ela é dada por:
Essa equação descreve situações onde não há fontes ou sumidouros, como em potenciais estáticos na física.
Passo 3
Agora, vamos supor que a solução
pode ser escrita como o produto de duas funções, uma que depende só de
e outra que depende só de
:
Essa é a técnica de separação de variáveis, que facilita resolver a equação de Laplace.
Passo 4
Substituindo
na equação de Laplace, temos:
Dividindo ambos os lados por
:
Como as duas partes dependem de variáveis diferentes, cada uma delas deve ser igual a uma constante negativa, digamos
.
Passo 5
Isso nos leva a duas equações ordinárias:
Aqui,
é uma constante de separação que teremos que determinar usando as condições de contorno.
Passo 6
Vamos resolver a equação para
:
A solução geral dessa equação é:
Onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 7
Aplicando a condição de contorno
:
Isso implica que
, já que
não é trivial. Usando a expressão de
:
Portanto,
, e a solução de
simplifica para:
Passo 8
Agora, resolvemos a equação para
:
A solução geral dessa equação é:
Onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 9
Aplicando as condições de contorno
:
Para
:
Para
:
Substituindo
:
Para ter uma solução não trivial, precisamos que
, o que só acontece se
. Mas isso levaria a soluções constantes, que não satisfazem todas as condições de contorno. Portanto, revisaremos nosso método e consideraremos uma expansão em série de Fourier.
Passo 10
Em situações como essa, onde uma das condições de contorno é uma função não constante (
), usamos séries de Fourier para expandir
em termos das funções próprias da equação de Laplace que atendem às outras condições de contorno.
Vamos assumir que a solução geral é uma soma infinita de soluções de separação de variáveis:
Aqui,
é um número inteiro positivo, e
são os coeficientes que vamos determinar.
Passo 11
Para encontrar os coeficientes
, aplicamos a condição de contorno
:
Podemos reescrever isso como:
Onde
. Agora,
são os coeficientes da série de Fourier seno para
.
Passo 12
Vamos calcular os coeficientes
usando a fórmula da série de Fourier seno:
Dado que
é uma função por partes, precisamos dividir a integral de acordo com os intervalos de definição de
:
Passo 13
Calculando as integrais:
Primeiro, para
:
Usamos integração por partes, onde
e
.
Depois, para
:
Novamente, aplicamos integração por partes com
e
.
Após resolver essas integrais, obtemos os valores de
.
Passo 14
Com os coeficientes
determinados, podemos expressar
como:
Substituindo de volta na expressão para
:
Passo 15
Finalmente, substituímos
na expressão de
:
Essa é a solução geral da equação de Laplace no quadrado com as condições de contorno dadas.
Resposta
A solução da equação de Laplace no quadrado
que satisfaz as condições de contorno fornecidas é dada por:
Essa expressão representa a solução em série de Fourier para o problema proposto.
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