Resolva as seguintes integrais

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Estamos lidando com uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver esse tipo de integral, vamos usar o método de frações parciais, que nos ajuda a decompor a fração em partes mais simples para integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fração como uma soma de frações parciais. Assumimos que:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:

Passo 4

Expandimos os termos à direita:

Passo 5

Agrupamos os termos semelhantes:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos de ambos os lados da equação:

Passo 7

Resolvemos o sistema de equações:
  1. De , temos .
  2. De , substituindo por , temos , então .
  3. Substituindo na segunda equação , fica , ou seja, , então .
  4. Então, e .

Passo 8

Substituímos , e na decomposição:

Passo 9

Agora, separamos a fração:

Passo 10

Pronto para integrar, temos:

Passo 11

Vamos integrar cada termo:
  1. : aqui fazemos uma substituição , , então

Passo 12

Juntando tudo:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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