Resolva as seguintes integrais
(f) integral x(x+1)(x^2+1) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Estamos lidando com uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver esse tipo de integral, vamos usar o método de frações parciais, que nos ajuda a decompor a fração em partes mais simples para integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fração x(x+1)(x^2+1) = Ax+1 + Bx + Cx^2+1 como uma soma de frações parciais. Assumimos que:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum x = A(x^2+1) + (Bx + C)(x+1) para eliminar as frações:

Passo 4

Expandimos os termos à direita:
x = A x^2 + A + Bx(x) + Bx(1) + C(x) + C(1)
x = A x^2 + A + B x^2 + B x + C x + C

Passo 5

Agrupamos os termos semelhantes:
x = (A + B) x^2 + (B + C) x + (A + C)

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos de ambos os lados da equação:
A + B = 0 (coeficiente de x^2) B + C = 1 (coeficiente de x) A + C = 0 (termo constante)

Passo 7

Resolvemos o sistema de equações:
  1. De , temos .
  2. De , substituindo por , temos , então .
  3. Substituindo na segunda equação , fica , ou seja, , então .
  4. Então, e .

Passo 8

Substituímos x(x+1)(x^2+1) = -12x+1 + 12x + 12x^2+1 , = -12 cdot 1x+1 + 12 cdot x + 1x^2+1 e na decomposição:

Passo 9

Agora, separamos a fração:
-12 cdot 1x+1 + 12 cdot ( xx^2+1 + 1x^2+1 )

Passo 10

Pronto para integrar, temos:
integral x(x+1)(x^2+1) , dx = -12 integral 1x+1 , dx + 12 integral xx^2+1 , dx + 12 integral 1x^2+1 , dx

Passo 11

Vamos integrar cada termo:
  1. : aqui fazemos uma substituição , , então

Passo 12

Juntando tudo:
-12 ln|x+1| + 14 ln|x^2+1| + 12 arctan(x) + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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