Beleza, vamos resolver a integral . Estamos lidando com uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver esse tipo de integral, vamos usar o método de frações parciais, que nos ajuda a decompor a fração em partes mais simples para integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a fração como uma soma de frações parciais. Assumimos que:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:
Passo 4
Expandimos os termos à direita:
Passo 5
Agrupamos os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de ambos os lados da equação:
Passo 7
Resolvemos o sistema de equações:
De , temos .
De , substituindo por , temos , então .
Substituindo na segunda equação , fica , ou seja, , então .
Então, e .
Passo 8
Substituímos , e na decomposição:
Passo 9
Agora, separamos a fração:
Passo 10
Pronto para integrar, temos:
Passo 11
Vamos integrar cada termo:
: aqui fazemos uma substituição , , então
Passo 12
Juntando tudo:
Onde é a constante de integração.
Resposta
A integral é igual a , onde é a constante de integração.