Beleza, vamos resolver a integral . Estamos lidando com uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver esse tipo de integral, vamos usar o método de frações parciais, que nos ajuda a decompor a fração em partes mais simples para integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a fração como uma soma de frações parciais. Assumimos que:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum para eliminar as frações:
Passo 4
Expandimos os termos à direita:
Passo 5
Agrupamos os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de ambos os lados da equação:
Passo 7
Resolvemos o sistema de equações:
De , temos .
De , substituindo por , temos , então .
Substituindo na segunda equação , fica , ou seja, , então .
Então, e .
Passo 8
Substituímos x(x+1)(x^2+1) = -12x+1 + 12x + 12x^2+1 , = -12 cdot 1x+1 + 12 cdot x + 1x^2+1 e na decomposição:
Passo 9
Agora, separamos a fração:
-12 cdot 1x+1 + 12 cdot ( xx^2+1 + 1x^2+1 )
Passo 10
Pronto para integrar, temos:
integral x(x+1)(x^2+1) , dx = -12 integral 1x+1 , dx + 12 integral xx^2+1 , dx + 12 integral 1x^2+1 , dx
Passo 11
Vamos integrar cada termo:
: aqui fazemos uma substituição , , então
Passo 12
Juntando tudo:
-12 ln|x+1| + 14 ln|x^2+1| + 12 arctan(x) + C
Onde é a constante de integração.
Resposta
A integral é igual a , onde é a constante de integração.