Determine se as sequências convergem ou divergem; se convergir, calcule seu limite.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por:
O objetivo é determinar se essa sequência converge ou diverge. Se convergir, precisamos encontrar o seu limite. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e simplificação algébrica.
Passo 2
Vamos começar simplificando a expressão da sequência. Primeiro, vamos combinar as duas frações:
Passo 3
Agora, vamos resolver a diferença das frações dentro do parênteses. Para isso, encontraremos um denominador comum:
Substituindo de volta na expressão de
:
Passo 4
Para encontrar o limite da sequência quando
tende ao infinito, dividimos o numerador e o denominador por
:
À medida que
cresce,
se aproxima de zero. Portanto, a expressão simplifica para:
Resposta
A sequência converge e o seu limite é
.