Determine se as sequências convergem ou divergem; se convergir, calcule seu limite.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por:
O objetivo é determinar se essa sequência converge ou diverge. Se convergir, precisamos encontrar o seu limite. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e simplificação algébrica.

Passo 2

Vamos começar simplificando a expressão da sequência. Primeiro, vamos combinar as duas frações:

Passo 3

Agora, vamos resolver a diferença das frações dentro do parênteses. Para isso, encontraremos um denominador comum:
Substituindo de volta na expressão de :

Passo 4

Para encontrar o limite da sequência quando tende ao infinito, dividimos o numerador e o denominador por :
À medida que cresce, se aproxima de zero. Portanto, a expressão simplifica para:

Resposta

A sequência converge e o seu limite é .

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