Obtenha a solução geral

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial . Esse exercício faz parte do estudo de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.

Passo 2

Primeiro, identifique os coeficientes na equação diferencial padrão . Aqui, e .

Passo 3

Calcule o fator integrante . A fórmula para o fator integrante é:
Substituindo :

Passo 4

Multiplique toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Isso simplifica a equação para:
Isso acontece porque .

Passo 5

Agora, integre ambos os lados da equação em relação a :
A integral à esquerda simplifica para . Para a integral à direita, usamos a técnica de integração por partes.

Passo 6

Aplicando a integração por partes na integral , definimos:
Então:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Voltando à equação integrada:
Divida ambos os lados por para resolver para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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