Obtenha a solução geral
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
. Esse exercício faz parte do estudo de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que nos ajuda a encontrar a solução geral dessa equação.
Passo 2
Primeiro, identifique os coeficientes na equação diferencial padrão
. Aqui,
e
.
Passo 3
Calcule o fator integrante
. A fórmula para o fator integrante é:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplique toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Isso simplifica a equação para:
Isso acontece porque
.
Passo 5
Agora, integre ambos os lados da equação em relação a
:
A integral à esquerda simplifica para
. Para a integral à direita, usamos a técnica de integração por partes.
Passo 6
Aplicando a integração por partes na integral
, definimos:
Então:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Voltando à equação integrada:
Divida ambos os lados por
para resolver para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
onde
é uma constante arbitrária.
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b)
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c)
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