Determine se as sequências convergem ou divergem:
(k) .

Passo 1

Beleza, temos que analisar a sequência e descobrir se ela converge (chega perto de um número específico) ou diverge (não se estabiliza). Vamos usar conceitos de limites e propriedades de potências para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão de uma forma que seja mais fácil de trabalhar com limites. Lembrando que é o mesmo que .
Então, temos:

Passo 3

Agora, queremos descobrir qual é o limite de quando tende ao infinito. Para facilitar, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados. Sabemos que o logaritmo é uma função contínua, então podemos trocar o limite com o logaritmo.
Tomando o logaritmo natural:

Passo 4

Vamos agora calcular o limite de quando tende ao infinito:
Como é uma constante e cresce sem limite, o limite da fração é:

Passo 5

Agora que sabemos que , podemos voltar ao original usando a função exponencial, que é a inversa do logaritmo natural.
Isso nos dá:

Resposta

A sequência converge para 1.

Exercícios relacionados

Existe um valor de para que a função
seja contínua em ? Avalie a continuidade dessa função nos pontos ?
Mostre que converge para todo e deduza que para todo .
Prove que a sequência definida por é limitada e é decrescente. Deduza do teorema de Bolzano-Weierstrass que essa sequência é convergente. Calcule o limite dessa sequência.
Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
(e)