Determine se as sequências convergem ou divergem:
(k)
.
(k)
Passo 1
Beleza, temos que analisar a sequência
e descobrir se ela converge (chega perto de um número específico) ou diverge (não se estabiliza). Vamos usar conceitos de limites e propriedades de potências para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão
de uma forma que seja mais fácil de trabalhar com limites. Lembrando que
é o mesmo que
.
Então, temos:
Passo 3
Agora, queremos descobrir qual é o limite de
quando
tende ao infinito. Para facilitar, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados. Sabemos que o logaritmo é uma função contínua, então podemos trocar o limite com o logaritmo.
Tomando o logaritmo natural:
Passo 4
Vamos agora calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
Como
é uma constante e
cresce sem limite, o limite da fração é:
Passo 5
Agora que sabemos que
, podemos voltar ao
original usando a função exponencial, que é a inversa do logaritmo natural.
Isso nos dá:
Resposta
A sequência
converge para 1.
Exercícios relacionados
Existe um valor de
para que a função
seja contínua em
? Avalie a continuidade dessa função nos pontos
?
Mostre que
converge para todo
e deduza que
para todo
.
Prove que a sequência definida por
é limitada
e é decrescente. Deduza do teorema de Bolzano-Weierstrass que essa sequência é convergente. Calcule o limite dessa sequência.
Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
(e)
(e)