Prove que a sequência definida por é limitada e é decrescente. Deduza do teorema de Bolzano-Weierstrass que essa sequência é convergente. Calcule o limite dessa sequência.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para provar que a sequência definida por e é limitada entre 0 e 2, é decrescente, e que converge para um limite específico. Para isso, vamos utilizar conceitos de sequência limitada, sequência decrescente e o Teorema de Bolzano-Weierstrass, que nos ajuda a concluir a convergência da sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que todos os termos da sequência estão entre 0 e 2.
Base da Indução:
Para , temos , que está dentro do intervalo [0, 2].
Passo Indutivo:
Assumindo que , vamos verificar .
Como , então .
Portanto, .
Além disso, como , então , o que implica .
Assim, por indução, todos os termos da sequência satisfazem .

Passo 3

Agora, vamos provar que a sequência é decrescente, ou seja, .
Sabemos que .
Como , então , e assim .
Como (visto que e a sequência é decrescente), temos:
Portanto, a sequência é decrescente.

Passo 4

Comprovamos que a sequência é limitada e decrescente. O Teorema de Bolzano-Weierstrass nos diz que toda sequência limitada em possui uma subsequência convergente. Além disso, se a sequência for monotônica (crescente ou decrescente) e limitada, então ela é convergente.
Como nossa sequência é decrescente e limitada abaixo por 0, concluímos que ela é convergente.

Passo 5

Para encontrar o limite da sequência, consideramos que, como tende ao infinito, e ambos tendem para . Assim:
Multiplicando ambos os lados por :
Rearranjando:
Resolvendo a equação quadrática:
Como a sequência está limitada por 0 e 2, escolhemos a solução menor:

Resposta

O limite da sequência é .

Exercícios relacionados

Determine se as sequências convergem ou divergem:
(k) .
Existe um valor de para que a função
seja contínua em ? Avalie a continuidade dessa função nos pontos ?
Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
(e)
Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
(k)