Prove que a sequência definida por
é limitada
e é decrescente. Deduza do teorema de Bolzano-Weierstrass que essa sequência é convergente. Calcule o limite dessa sequência.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para provar que a sequência definida por
e
é limitada entre 0 e 2, é decrescente, e que converge para um limite específico. Para isso, vamos utilizar conceitos de sequência limitada, sequência decrescente e o Teorema de Bolzano-Weierstrass, que nos ajuda a concluir a convergência da sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que todos os termos da sequência estão entre 0 e 2.
Base da Indução:
Para , temos
, que está dentro do intervalo [0, 2].
Para
Passo Indutivo:
Assumindo que , vamos verificar
.
Assumindo que
Como
, então
.
Portanto, .
Portanto,
Além disso, como
, então
, o que implica
.
Assim, por indução, todos os termos da sequência satisfazem
.
Passo 3
Agora, vamos provar que a sequência é decrescente, ou seja,
.
Sabemos que
.
Como
, então
, e assim
.
Como
(visto que
e a sequência é decrescente), temos:
Portanto, a sequência é decrescente.
Passo 4
Comprovamos que a sequência é limitada e decrescente. O Teorema de Bolzano-Weierstrass nos diz que toda sequência limitada em
possui uma subsequência convergente. Além disso, se a sequência for monotônica (crescente ou decrescente) e limitada, então ela é convergente.
Como nossa sequência é decrescente e limitada abaixo por 0, concluímos que ela é convergente.
Passo 5
Para encontrar o limite
da sequência, consideramos que, como
tende ao infinito,
e
ambos tendem para
. Assim:
Multiplicando ambos os lados por
:
Rearranjando:
Resolvendo a equação quadrática:
Como a sequência está limitada por 0 e 2, escolhemos a solução menor:
Resposta
O limite da sequência é
.
Exercícios relacionados
Determine se as sequências convergem ou divergem:
(k) .
(k)
Existe um valor de
para que a função
seja contínua em
? Avalie a continuidade dessa função nos pontos
?
Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
(e)
(e)
Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
(k)
(k)