Mostre que converge para todo e deduza que para todo .
Passo 1
Então, bora lá! O enunciado nos pede para mostrar que a soma infinita converge para qualquer valor de . Depois, a gente precisa concluir que o limite para todo . Vamos precisar saber um pouco sobre séries infinitas e critérios de convergência, principalmente o Teste da Razão que ajuda a verificar se uma série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a série . Uma série converge se a soma dos seus termos até o infinito dá um valor finito. Aqui, é o termo geral da série. Para verificar se essa série converge, vamos usar o Teste da Razão.
Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando limn to infty xn+1 = 0 tende ao infinito:
Como 0 é menor que 1, segundo o Teste da Razão, a série converge absolutamente para todo .
Passo 6
Agora que sabemos que a série converge para todo , vamos deduzir que . Se uma série infinita converge, então necessariamente o limite dos termos quando tende a infinito deve ser zero. Isso é uma propriedade fundamental das séries convergentes.
Passo 7
Aplicando essa propriedade à nossa série, concluímos que:
limn +infty x^nn! = 0
Isso vale para qualquer valor de , já que mostramos que a série converge para todo .
Resposta
A série converge para todo , e consequentemente, para todo .