Mostre que sumn=1^infty x^nn! converge para todo x e deduza que lim n +infty x^nn!=0 para todo x.

Passo 1

Então, bora lá! O enunciado nos pede para mostrar que a soma infinita converge para qualquer valor de . Depois, a gente precisa concluir que o limite para todo . Vamos precisar saber um pouco sobre séries infinitas e critérios de convergência, principalmente o Teste da Razão que ajuda a verificar se uma série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a série . Uma série converge se a soma dos seus termos até o infinito dá um valor finito. Aqui, é o termo geral da série. Para verificar se essa série converge, vamos usar o Teste da Razão.

Passo 3

O Teste da Razão diz que se e:
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso na nossa série onde .

Passo 4

Calculando a razão an+1an = x^n+1(n+1)!x^nn! = x^n+1 cdot n!x^n cdot (n+1)! = xn+1 :

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando limn to infty xn+1 = 0 tende ao infinito:
Como 0 é menor que 1, segundo o Teste da Razão, a série converge absolutamente para todo .

Passo 6

Agora que sabemos que a série converge para todo , vamos deduzir que . Se uma série infinita converge, então necessariamente o limite dos termos quando tende a infinito deve ser zero. Isso é uma propriedade fundamental das séries convergentes.

Passo 7

Aplicando essa propriedade à nossa série, concluímos que:
limn +infty x^nn! = 0
Isso vale para qualquer valor de , já que mostramos que a série converge para todo .

Resposta

A série converge para todo , e consequentemente, para todo .

Exercícios relacionados