Existe um valor de k para que a função
f(x, y)=cc y^3+y x^2y^2+x^2, & se (x, y) neq(0,0) k-5, & se (x, y)=(0,0)
seja contínua em (0,0) ? Avalie a continuidade dessa função nos pontos (x, y) neq(0,0) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função de duas variáveis, , que muda sua definição dependendo de onde estamos no plano. A pergunta quer saber se existe um valor específico para que faz essa função ser contínua no ponto . Além disso, também precisamos verificar se a função é contínua em todos os outros pontos diferentes de .
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade para funções de duas variáveis. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela quando a gente se aproxima desse ponto é igual ao valor da função naquele ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a continuidade da função no ponto f(x, y) = y^3 + y x^2y^2 + x^2 . Para isso, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de e ver se esse limite é igual a .
A função para é:

Passo 3

Vamos simplificar essa expressão. Podemos fatorar f(x, y) = y(y^2 + x^2)y^2 + x^2 = y no numerador:
Isso acontece porque é diferente de zero fora do ponto , então podemos dividir os termos.

Passo 4

Agora, vemos que lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = lim(x, y) to (0,0) y = 0 para todos os . Isso significa que o limite de quando se aproxima de é simplesmente o limite de quando vai para .
Então:

Passo 5

Para a função ser contínua em k - 5 = 0 , esse limite precisa ser igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja:
k = 5
Resolvendo para :

Passo 6

Agora, vamos verificar a continuidade da função em todos os outros pontos . Como vimos, para esses pontos, a função simplifica para , que é uma função polinomial contínua em todo o espaço . Portanto, não há problemas de continuidade nesses pontos.

Resposta

Existe sim um valor de que torna a função contínua em , e esse valor é . Além disso, a função é contínua em todos os pontos .

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