Existe um valor de
para que a função
seja contínua em
? Avalie a continuidade dessa função nos pontos
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função de duas variáveis,
, que muda sua definição dependendo de onde estamos no plano. A pergunta quer saber se existe um valor específico para
que faz essa função ser contínua no ponto
. Além disso, também precisamos verificar se a função é contínua em todos os outros pontos diferentes de
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade para funções de duas variáveis. Uma função é contínua em um ponto se o limite dela quando a gente se aproxima desse ponto é igual ao valor da função naquele ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a continuidade da função no ponto
. Para isso, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
e ver se esse limite é igual a
.
A função para
é:
Passo 3
Vamos simplificar essa expressão. Podemos fatorar
no numerador:
Isso acontece porque
é diferente de zero fora do ponto
, então podemos dividir os termos.
Passo 4
Agora, vemos que
para todos os
. Isso significa que o limite de
quando
se aproxima de
é simplesmente o limite de
quando
vai para
.
Então:
Passo 5
Para a função ser contínua em
, esse limite precisa ser igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora, vamos verificar a continuidade da função em todos os outros pontos
. Como vimos, para esses pontos, a função simplifica para
, que é uma função polinomial contínua em todo o espaço
. Portanto, não há problemas de continuidade nesses pontos.
Resposta
Existe sim um valor de
que torna a função contínua em
, e esse valor é
. Além disso, a função é contínua em todos os pontos
.
Exercícios relacionados
Mostre que
converge para todo
e deduza que
para todo
.
Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
(o)
(o)
Determine se as sequências convergem ou divergem:
(k) .
(k)
Prove que a sequência definida por
é limitada
e é decrescente. Deduza do teorema de Bolzano-Weierstrass que essa sequência é convergente. Calcule o limite dessa sequência.