Determine se as sequências infinitas abaixo são convergente ou divergentes. Se forem convergentes, encontre seu limite. an = 2^(n+2) / 5^n

Passo 1

Vamos começar entendendo o que foi pedido. Precisamos determinar se a sequência infinita é convergente ou divergente. Se for convergente, devemos encontrar o seu limite. Para isso, vamos usar conceitos de progressões geométricas e limites de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Podemos reescrever como . Assim:

Passo 3

Agora, observamos que é uma progressão geométrica com razão . Sabemos que para uma progressão geométrica do tipo , se , a sequência converge para zero à medida que tende ao infinito.

Passo 4

Como e , concluímos que a sequência é convergente.

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é .

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