Mostre que a sequência cujo termo geral é
, é decrescente a partir de um certo termo (qual?) e limitada inferiormente por zero. Se for convergente, encontre seu limite.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência definida por
, onde
é um número natural (1, 2, 3, …). Precisamos mostrar que essa sequência começa a diminuir a partir de um certo termo e que ela nunca fica abaixo de zero. Além disso, se a sequência se aproxima de algum valor específico quando
cresce, devemos encontrar esse limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências, crescimento de funções exponenciais e fatoriais, e propriedades de limites.
Passo 2
Vamos começar analisando os termos da sequência
. O numerador,
, cresce de forma exponencial à medida que
aumenta. O denominador,
, também cresce muito rápido, já que o fatorial de
é o produto de todos os números de 1 até
.
Passo 3
Para determinar se a sequência é decrescente a partir de um certo termo, vamos comparar
com
. Calculamos a razão
:
Passo 4
A sequência
será decrescente quando
. Vamos verificar quando isso acontece:
Então, a partir de
, a sequência começa a diminuir.
Passo 5
Agora, vamos ver se a sequência é limitada inferiormente por zero. Observamos que
é sempre positiva, já que tanto o numerador quanto o denominador são positivos para todo
. Portanto, a sequência é limitada inferiormente por zero.
Passo 6
Por último, vamos determinar se a sequência é convergente e encontrar seu limite. Sabemos que:
Para grandes valores de
, o crescimento do fatorial
supera o crescimento exponencial
. Assim, a fração tende a zero.
Resposta
A sequência
é decrescente a partir de
, está limitada inferiormente por zero e seu limite é 0.