Mostre que a sequência cujo termo geral é a_n = 10^n / n!, n = 1, 2, 3, ..., é decrescente a partir de um certo termo (qual?) e limitada inferiormente por zero. Se for convergente, encontre seu limite.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência definida por , onde é um número natural (1, 2, 3, …). Precisamos mostrar que essa sequência começa a diminuir a partir de um certo termo e que ela nunca fica abaixo de zero. Além disso, se a sequência se aproxima de algum valor específico quando cresce, devemos encontrar esse limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências, crescimento de funções exponenciais e fatoriais, e propriedades de limites.

Passo 2

Vamos começar analisando os termos da sequência . O numerador, , cresce de forma exponencial à medida que aumenta. O denominador, , também cresce muito rápido, já que o fatorial de é o produto de todos os números de 1 até .

Passo 3

Para determinar se a sequência é decrescente a partir de um certo termo, vamos comparar com . Calculamos a razão :

Passo 4

A sequência será decrescente quando . Vamos verificar quando isso acontece:
Então, a partir de , a sequência começa a diminuir.

Passo 5

Agora, vamos ver se a sequência é limitada inferiormente por zero. Observamos que é sempre positiva, já que tanto o numerador quanto o denominador são positivos para todo . Portanto, a sequência é limitada inferiormente por zero.

Passo 6

Por último, vamos determinar se a sequência é convergente e encontrar seu limite. Sabemos que:
Para grandes valores de , o crescimento do fatorial supera o crescimento exponencial . Assim, a fração tende a zero.

Resposta

A sequência é decrescente a partir de , está limitada inferiormente por zero e seu limite é 0.

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