Mostre que a sequência cujo termo geral é , é decrescente a partir de um certo termo (qual?) e limitada inferiormente por zero. Se for convergente, encontre seu limite.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma sequência definida por , onde é um número natural (1, 2, 3, …). Precisamos mostrar que essa sequência começa a diminuir a partir de um certo termo e que ela nunca fica abaixo de zero. Além disso, se a sequência se aproxima de algum valor específico quando cresce, devemos encontrar esse limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências, crescimento de funções exponenciais e fatoriais, e propriedades de limites.

Passo 2

Vamos começar analisando os termos da sequência . O numerador, , cresce de forma exponencial à medida que aumenta. O denominador, , também cresce muito rápido, já que o fatorial de é o produto de todos os números de 1 até .

Passo 3

Para determinar se a sequência é decrescente a partir de um certo termo, vamos comparar com . Calculamos a razão :

Passo 4

A sequência será decrescente quando . Vamos verificar quando isso acontece:
Então, a partir de , a sequência começa a diminuir.

Passo 5

Agora, vamos ver se a sequência é limitada inferiormente por zero. Observamos que é sempre positiva, já que tanto o numerador quanto o denominador são positivos para todo . Portanto, a sequência é limitada inferiormente por zero.

Passo 6

Por último, vamos determinar se a sequência é convergente e encontrar seu limite. Sabemos que:
Para grandes valores de , o crescimento do fatorial supera o crescimento exponencial . Assim, a fração tende a zero.

Resposta

A sequência é decrescente a partir de , está limitada inferiormente por zero e seu limite é 0.

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Se as funções abaixo são bijetivas, prove e forneça a função inversa. Senão forneça um contraexemplo. .
Determine se as sequências infinitas abaixo são convergente ou divergentes. Se forem convergentes, encontre seu limite.
Determine se as sequências infinitas abaixo são convergente ou divergentes. Se forem convergentes, encontre seu limite.