Determine se as sequências a seguir são convergentes ou divergentes.
a_n = n^2 / (2 n^2 + 1);

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma sequência definida por e precisamos determinar se ela é convergente ou divergente. Isso está relacionado com o estudo de sequências na matemática, especificamente sobre limites. Para resolver, vamos analisar o comportamento de quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o grau do numerador e do denominador da fração. No numerador, temos e no denominador, . Ambos os termos que envolvem têm grau 2.

Passo 3

Quando o grau do numerador e do denominador é o mesmo em uma fração, o limite da sequência quando tende ao infinito é igual ao coeficiente do termo de maior grau no numerador dividido pelo coeficiente do termo de maior grau no denominador.

Passo 4

No nosso caso, o coeficiente do no numerador é 1 e no denominador é 2. Portanto, o limite da sequência é:

Passo 5

Como a sequência tende a um valor finito quando cresce indefinidamente, concluímos que a sequência é convergente.

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é .

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