Resolva com as oportunas substituições as seguintes EDOs homogêneas.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) homogênea dada por
. O conteúdo envolvido aqui é cálculo diferencial, e para resolver essa EDO, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a equação, facilitando assim a integração.
Passo 2
Como a equação é homogênea, podemos usar a substituição
. Isso significa que
. A ideia aqui é transformar a EDO em termos de
e
, tornando-a mais fácil de resolver.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
usando a regra do produto:
Substituímos isso na EDO original:
Passo 4
Agora, podemos isolar
:
Passo 5
Vamos separar as variáveis para integrar:
A esquerda da equação pode ser dividida em duas frações:
Passo 6
Integrando ambos os lados:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Substituímos
de volta na equação:
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Resolva com as oportunas substituições as seguintes EDOs homogêneas.
Resolva as seguintes EDOs exatas.
Determine o termo geral das sequências a seguir.
-
; -
; -
.
Determine se as sequências a seguir são convergentes ou divergentes.
;