Resolva com as oportunas substituições as seguintes EDOs homogêneas.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) homogênea dada por . O conteúdo envolvido aqui é cálculo diferencial, e para resolver essa EDO, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a equação, facilitando assim a integração.

Passo 2

Como a equação é homogênea, podemos usar a substituição . Isso significa que . A ideia aqui é transformar a EDO em termos de e , tornando-a mais fácil de resolver.

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a usando a regra do produto:
Substituímos isso na EDO original:

Passo 4

Agora, podemos isolar :

Passo 5

Vamos separar as variáveis para integrar:
A esquerda da equação pode ser dividida em duas frações:

Passo 6

Integrando ambos os lados:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Substituímos de volta na equação:

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Resolva com as oportunas substituições as seguintes EDOs homogêneas.
Resolva as seguintes EDOs exatas.
Determine o termo geral das sequências a seguir.
  • ;
  • ;
  • .
Determine se as sequências a seguir são convergentes ou divergentes.
;