Determine o termo geral das sequências a seguir.
  • a_n = (6, 7/4, 8/9, 9/16, 10/25, ...);
  • b_n = (1/2, 2/3, 3/4, 4/5, ...);
  • c_n = (3, 8, 13, 18, ...).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos três sequências diferentes e precisamos encontrar uma fórmula que descreva qualquer termo delas, ou seja, o termo geral. Para isso, vamos precisar entender como cada sequência está formada, identificar padrões e aplicar conceitos básicos de progressões. Vamos resolver uma por uma!

Passo 2

Sequência :
Primeiro, vamos observar os numeradores e os denominadores separadamente para identificar um padrão.
  • Numerador: 6, 7, 8, 9, 10, …
    • A sequência começa em 6 e aumenta de 1 em 1. Então, o numerador do -ésimo termo pode ser representado por (porque quando , temos ).
  • Denominador: 1, 4, 9, 16, 25, …
    • Esses números são quadrados perfeitos: . Portanto, o denominador do -ésimo termo é .
Então, a fórmula geral para é:

Passo 3

Sequência :
Aqui, também vamos analisar numerador e denominador separadamente.
  • Numerador: 1, 2, 3, 4, …
    • Esse é um crescimento simples de 1 em 1, então é simplesmente .
  • Denominador: 2, 3, 4, 5, …
    • Aqui, o denominador é sempre 1 a mais que o numerador. Portanto, o denominador é .
Assim, a fórmula geral para é:

Passo 4

Sequência :
Vamos ver se essa sequência segue uma progressão aritmética, onde a diferença entre termos consecutivos é constante.
  • Diferença entre termos:
    A diferença é sempre 5, então é uma progressão aritmética com razão .
  • Fórmula da PA:
    Onde e .
Substituindo os valores:

Resposta

As fórmulas gerais das sequências são:

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