Determine o termo geral das sequências a seguir.
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Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos três sequências diferentes e precisamos encontrar uma fórmula que descreva qualquer termo delas, ou seja, o termo geral. Para isso, vamos precisar entender como cada sequência está formada, identificar padrões e aplicar conceitos básicos de progressões. Vamos resolver uma por uma!
Passo 2
Sequência
:
Primeiro, vamos observar os numeradores e os denominadores separadamente para identificar um padrão.
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Numerador: 6, 7, 8, 9, 10, …
- A sequência começa em 6 e aumenta de 1 em 1. Então, o numerador do
-ésimo termo pode ser representado por (porque quando , temos ).
- A sequência começa em 6 e aumenta de 1 em 1. Então, o numerador do
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Denominador: 1, 4, 9, 16, 25, …
- Esses números são quadrados perfeitos:
. Portanto, o denominador do -ésimo termo é .
- Esses números são quadrados perfeitos:
Então, a fórmula geral para
é:
Passo 3
Sequência
:
Aqui, também vamos analisar numerador e denominador separadamente.
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Numerador: 1, 2, 3, 4, …
- Esse é um crescimento simples de 1 em 1, então é simplesmente
.
- Esse é um crescimento simples de 1 em 1, então é simplesmente
-
Denominador: 2, 3, 4, 5, …
- Aqui, o denominador é sempre 1 a mais que o numerador. Portanto, o denominador é
.
- Aqui, o denominador é sempre 1 a mais que o numerador. Portanto, o denominador é
Assim, a fórmula geral para
é:
Passo 4
Sequência
:
Vamos ver se essa sequência segue uma progressão aritmética, onde a diferença entre termos consecutivos é constante.
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Diferença entre termos:A diferença é sempre 5, então é uma progressão aritmética com razão
. -
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Fórmula da PA:Onde
e .
Substituindo os valores:
Resposta
As fórmulas gerais das sequências são: