Verifique se as sequências a seguir são limitadas.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se a sequência é limitada. Vamos usar conceitos de limites de sequências e entender o que significa uma sequência ser limitada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência limitada. Uma sequência é dita limitada se existe um número real tal que todos os termos da sequência estão entre e . Ou seja, para todo .
Passo 3
Agora, vamos analisar a sequência . Veja que conforme aumenta, o denominador também aumenta, fazendo com que o valor de se aproxime de zero. Isso significa que os valores de estão se tornando cada vez menores em módulo.
Passo 4
Vamos calcular o módulo de :
Como é um número natural e começa em 1, o menor valor de é 1, então para todo .
Passo 5
Isso significa que podemos escolher , pois:
Assim, a sequência está sempre entre e , ou seja, é limitada.
Resposta
A sequência é limitada, com os termos variando entre -1 e 1.