Determine se as sequências a seguir são monótonas ou não-monótonas.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir se a sequência
é monótona ou não-monótona. Isso envolve entender o que são sequências monótonas e analisar como o cosseno ao quadrado se comporta conforme
aumenta. Para resolver isso, vamos precisar lembrar o que define uma sequência monótona e observar os valores que
assume conforme
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre sequências monótonas. Uma sequência é chamada de monótona crescente se cada termo for maior ou igual ao anterior, ou monótona decrescente se cada termo for menor ou igual ao anterior. Se a sequência não segue nenhuma dessas regras de forma consistente, ela é não-monótona.
Passo 3
Agora, vamos analisar
. Sabemos que o cosseno de qualquer ângulo está entre -1 e 1, então ao elevar ao quadrado,
fica entre 0 e 1. Mas será que esses valores aumentam ou diminuem conforme
aumenta?
Passo 4
O cosseno de um número inteiro
(considerando
em radianos) não segue um padrão crescente ou decrescente fixo; ele oscila entre -1 e 1 periodicamente. Como estamos elevando ao quadrado,
oscila entre 0 e 1, mas sem seguir uma tendência fixa de aumento ou diminuição.
Passo 5
Como
alterna de forma irregular entre valores elevados e baixos à medida que
cresce, a sequência
não apresenta uma tendência consistente de crescimento ou decrescimento.
Resposta
A sequência
é não-monótona.
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