Determine se as sequências a seguir são monótonas ou não-monótonas.
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Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a sequência
é monótona ou não. Monótona significa que a sequência sempre aumenta ou sempre diminui conforme avançamos nos termos. Para isso, vamos analisar como os valores de
mudam quando
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como os termos da sequência se comportam. Olha só, no numerador temos
e no denominador
. Conforme
aumenta, tanto o numerador quanto o denominador vão aumentando. Mas qual deles aumenta mais rápido?
Passo 3
Para isso, vamos simplificar a expressão dividindo tanto o numerador quanto o denominador por
:
À medida que
fica bem grande,
se aproxima de zero. Então, a expressão fica aproximadamente:
Isso significa que, quando
cresce muito, os termos da sequência se aproximam de
.
Passo 4
Agora, vamos ver se a sequência está aumentando ou diminuindo. Para isso, vamos calcular a diferença entre
e
:
Vamos simplificar essa diferença:
Calculando o numerador:
Então, a diferença fica:
Passo 5
O denominador
é sempre positivo para
. E o numerador é 2, que também é positivo. Portanto,
para todo
na sequência.
Passo 6
Como a diferença entre cada termo e o próximo é sempre positiva, isso significa que cada termo é maior que o anterior. Logo, a sequência está sempre aumentando.
Resposta
A sequência
é monótona crescente.
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