Determine se as sequências a seguir são monótonas ou não-monótonas.
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Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a sequência é monótona ou não. Monótona significa que a sequência sempre aumenta ou sempre diminui conforme avançamos nos termos. Para isso, vamos analisar como os valores de mudam quando cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como os termos da sequência se comportam. Olha só, no numerador temos e no denominador . Conforme aumenta, tanto o numerador quanto o denominador vão aumentando. Mas qual deles aumenta mais rápido?

Passo 3

Para isso, vamos simplificar a expressão dividindo tanto o numerador quanto o denominador por :
À medida que fica bem grande, se aproxima de zero. Então, a expressão fica aproximadamente:
Isso significa que, quando cresce muito, os termos da sequência se aproximam de .

Passo 4

Agora, vamos ver se a sequência está aumentando ou diminuindo. Para isso, vamos calcular a diferença entre e :
Vamos simplificar essa diferença:
Calculando o numerador:
Então, a diferença fica:

Passo 5

O denominador é sempre positivo para . E o numerador é 2, que também é positivo. Portanto, para todo na sequência.

Passo 6

Como a diferença entre cada termo e o próximo é sempre positiva, isso significa que cada termo é maior que o anterior. Logo, a sequência está sempre aumentando.

Resposta

A sequência é monótona crescente.

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