Determine se as sequências a seguir são convergentes ou divergentes.
a_n = (3^n + 1) / (3^(n + 1)).

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a sequência é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades de potências. Precisaremos simplificar a expressão e calcular o limite quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência. Observamos que tanto o numerador quanto o denominador têm potências de 3. Vamos dividir cada termo por para facilitar.

Passo 3

Agora, analisamos o limite dessa expressão quando tende ao infinito. Sabemos que tende a zero quando cresce sem parar, porque qualquer número maior que 1 elevado a uma potência que vai para o infinito também tende ao infinito, e seu inverso tende a zero.

Passo 4

Como o limite existe e é igual a , concluímos que a sequência é convergente. Ela converge para o valor .

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é .

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