Determine se as sequências a seguir são convergentes ou divergentes.
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Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para determinar se a sequência
é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e propriedades de potências. Precisaremos simplificar a expressão e calcular o limite quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência. Observamos que tanto o numerador quanto o denominador têm potências de 3. Vamos dividir cada termo por
para facilitar.
Passo 3
Agora, analisamos o limite dessa expressão quando
tende ao infinito. Sabemos que
tende a zero quando
cresce sem parar, porque qualquer número maior que 1 elevado a uma potência que vai para o infinito também tende ao infinito, e seu inverso tende a zero.
Passo 4
Como o limite existe e é igual a
, concluímos que a sequência é convergente. Ela converge para o valor
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Resposta
A sequência
é convergente e seu limite é
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