Determine se as sequências a seguir são convergentes ou divergentes.
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a sequência é convergente ou divergente. Isso está ligado ao estudo de limites de sequências em Matemática, principalmente usando trigonometria e propriedades dos limites quando cresce sem parar.

Passo 2

Primeiro, vamos observar cada parte da sequência separadamente. Temos e . Vamos analisar o limite de cada uma quando tende ao infinito.

Passo 3

Começando com : sabemos que quando o ângulo dentro do seno fica pequenininho, o seno desse ângulo também fica pequenas. Mais formalmente, , porque tende a 0 quando cresce.

Passo 4

Agora, vamos olhar para . Sabemos que o cosseno de múltiplos de alterna entre 1 e -1:
  • Se é par, é multiplo par de , então .
  • Se é ímpar, é multiplo ímpar de , então .
    Portanto, não tem um limite único quando tende ao infinito, pois fica pulando entre 1 e -1.

Passo 5

Agora, juntando as duas partes da sequência: . Já vimos que tende a 0 e que alterna entre 1 e -1. Quando multiplicamos um número que tende a 0 por uma sequência que oscila entre 1 e -1, o resultado tende a 0 multiplicado por algo limitado, ou seja, também tende a 0.

Passo 6

Formalizando isso, temos:
Apesar de não ter um limite, o fator que tende a 0 domina a expressão.

Resposta

A sequência é convergente e seu limite é 0.

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