Determine se as sequências a seguir são convergentes ou divergentes.
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a sequência
é convergente ou divergente. Isso está ligado ao estudo de limites de sequências em Matemática, principalmente usando trigonometria e propriedades dos limites quando
cresce sem parar.
Passo 2
Primeiro, vamos observar cada parte da sequência separadamente. Temos
e
. Vamos analisar o limite de cada uma quando
tende ao infinito.
Passo 3
Começando com
: sabemos que quando o ângulo dentro do seno fica pequenininho, o seno desse ângulo também fica pequenas. Mais formalmente,
, porque
tende a 0 quando
cresce.
Passo 4
Agora, vamos olhar para
. Sabemos que o cosseno de múltiplos de
alterna entre 1 e -1:
- Se
é par, é multiplo par de , então . - Se
é ímpar, é multiplo ímpar de , então .
Portanto,não tem um limite único quando tende ao infinito, pois fica pulando entre 1 e -1.
Passo 5
Agora, juntando as duas partes da sequência:
. Já vimos que
tende a 0 e que
alterna entre 1 e -1. Quando multiplicamos um número que tende a 0 por uma sequência que oscila entre 1 e -1, o resultado tende a 0 multiplicado por algo limitado, ou seja, também tende a 0.
Passo 6
Formalizando isso, temos:
Apesar de
não ter um limite, o fator que tende a 0 domina a expressão.
Resposta
A sequência
é convergente e seu limite é 0.
Exercícios relacionados
Determine os valores de
para os quais as séries de potências a seguir são convergentes.
;
Usando os testes, verifique se as séries numéricas abaixo são convergentes ou divergentes.
;
Determine se as sequências a seguir são monótonas ou não-monótonas.
;
Determine se as sequências a seguir são convergentes ou divergentes.
.