Determine se as sequências a seguir são monótonas ou não-monótonas.
a_n = n / (2^n);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se a sequência a_n = n / (2^n) é monótona ou não monótona. Isso está relacionado ao estudo de sequências numéricas, onde uma sequência é dita monótona se ela sempre aumenta ou sempre diminui. Para resolver, vamos precisar entender o comportamento dos termos da sequência conforme n cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma sequência ser monótona. Uma sequência é monótona crescente se cada termo é maior ou igual ao anterior, ou seja, para todo n. Já é monótona decrescente se cada termo é menor ou igual ao anterior, ou seja, para todo n. Se a sequência não segue nenhum desses padrões constantemente, ela é não monótona.

Passo 3

Agora, para determinar se nossa sequência a_n = n / (2^n) é monótona, vamos analisar a diferença entre termos consecutivos: . Se essa diferença for sempre positiva ou sempre negativa, a sequência será monótona. Caso contrário, não será.

Passo 4

Vamos calcular :
Então,

Passo 5

Agora, vamos analisar o sinal de . O denominador é sempre positivo para todo n. Então, o sinal da diferença depende de :
  • Se , ou seja, , a diferença é positiva.
  • Se , ou seja, , a diferença é negativa.
  • Se , a diferença é zero.
Isso mostra que para n ≥ 2, é negativo, indicando que a sequência está diminuindo a partir de n = 1.

Resposta

A sequência é monótona decrescente para todo n ≥ 1.

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