Determine se as sequências a seguir são monótonas ou não-monótonas.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se a sequência
é monótona ou não monótona. Isso está relacionado ao estudo de sequências numéricas, onde uma sequência é dita monótona se ela sempre aumenta ou sempre diminui. Para resolver, vamos precisar entender o comportamento dos termos da sequência conforme
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma sequência ser monótona. Uma sequência é monótona crescente se cada termo é maior ou igual ao anterior, ou seja,
para todo
. Já é monótona decrescente se cada termo é menor ou igual ao anterior, ou seja,
para todo
. Se a sequência não segue nenhum desses padrões constantemente, ela é não monótona.
Passo 3
Agora, para determinar se nossa sequência
é monótona, vamos analisar a diferença entre termos consecutivos:
. Se essa diferença for sempre positiva ou sempre negativa, a sequência será monótona. Caso contrário, não será.
Passo 4
Vamos calcular
:
Então,
Passo 5
Agora, vamos analisar o sinal de
. O denominador
é sempre positivo para todo
. Então, o sinal da diferença depende de
:
- Se
, ou seja, , a diferença é positiva. - Se
, ou seja, , a diferença é negativa. - Se
, a diferença é zero.
Isso mostra que para
,
é negativo, indicando que a sequência está diminuindo a partir de
.
Resposta
A sequência
é monótona decrescente para todo
.
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