Verifique se as séries numéricas abaixo são convergentes ou divergentes.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a série numérica dada é convergente ou divergente. Isso envolve a matéria de Séries Numéricas, mais especificamente, séries geométricas. Para resolver isso, vamos precisar analisar cada parte da série usando os critérios de convergência das séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a série que temos:
Essa série é a soma de duas séries geométricas: uma com razão
e outra com razão
.
Passo 3
Vamos analisar a primeira parte da série:
Nas séries geométricas, a série converge se o valor absoluto da razão
for menor que 1, ou seja,
. Aqui,
, que é menor que 1, então essa parte da série converge.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda parte:
Aplicando o mesmo critério, temos
. Como
é maior que 1,
, o que significa que essa série diverge.
Passo 5
Quando somamos uma série que converge com uma que diverge, o resultado geral será que a série inteira diverge. Isso porque a parte que diverge “puxa” a série toda para a divergência.
Resposta
A série
é divergente.
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