Verifique se as séries numéricas abaixo são convergentes ou divergentes.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a série numérica é convergente ou divergente. Isso envolve o estudo de séries infinitas, um tópico de cálculo que ajuda a entender se a soma infinita tende a um valor específico (convergente) ou não (divergente). Para resolver isso, vamos usar o Teste da razão, que é uma ferramenta eficaz para determinar a convergência de séries que envolvem termos exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série calculando o limite . Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, ela diverge; e se for igual a 1, o teste não é conclusivo.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da razão na nossa série . Primeiro, identificamos .
Em seguida, calculamos .
Passo 4
Agora, vamos encontrar a razão an+1an = e cdot e^n2 (n+1)e^n2 n = e cdot e^n cdot 2 n2 (n+1) cdot e^n = e cdot nn+1 :
Passo 5
Simplificando a expressão:
e cdot nn+1 = e cdot nn+1
Agora, vamos calcular o limite conforme limn to infty e cdot nn+1 = e cdot limn to infty nn+1 = e cdot 1 = e tende ao infinito:
Passo 6
Interpretando o resultado do limite:
limn to infty | an+1an | = e
Sabemos que é maior que 1. Segundo o Teste da razão, se esse limite for maior que 1, a série é divergente.