Determine se as sequências a seguir são convergentes ou divergentes.
  • .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a sequência é convergente ou divergente. Isso está dentro do conteúdo de Sequências Numéricas, e para resolver vamos precisar entender o que significa convergência e usar propriedades básicas de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência. Observa que tanto o numerador quanto o denominador têm . Então, podemos dividir cada termo por :

Passo 3

Agora, vamos analisar cada parte separadamente:
  1. Primeiro termo: é uma constante, então não muda conforme aumenta.
  2. Segundo termo:
Sabemos que o cosseno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja, . Então, o termo está entre e .

Passo 4

Vamos ver o que acontece com quando tende ao infinito. Sabemos que:
E o mesmo vale para :

Passo 5

Portanto, pelo Teorema do Squeeze (ou Teorema do Aperto), já que está entre e , o limite de também é 0:

Passo 6

Agora, voltando à expressão simplificada da sequência:
Tomando o limite de quando tende ao infinito:

Resposta

A sequência converge para 1.

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