Determine se as sequências a seguir são convergentes ou divergentes.
-
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se a sequência
é convergente ou divergente. Isso está dentro do conteúdo de Sequências Numéricas, e para resolver vamos precisar entender o que significa convergência e usar propriedades básicas de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência. Observa que tanto o numerador quanto o denominador têm
. Então, podemos dividir cada termo por
:
Passo 3
Agora, vamos analisar cada parte separadamente:
- Primeiro termo:
é uma constante, então não muda conforme aumenta. - Segundo termo:
Sabemos que o cosseno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja,
. Então, o termo
está entre
e
.
Passo 4
Vamos ver o que acontece com
quando
tende ao infinito. Sabemos que:
E o mesmo vale para
:
Passo 5
Portanto, pelo Teorema do Squeeze (ou Teorema do Aperto), já que
está entre
e
, o limite de
também é 0:
Passo 6
Agora, voltando à expressão simplificada da sequência:
Tomando o limite de
quando
tende ao infinito:
Resposta
A sequência
converge para 1.
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