Verifique se as séries numéricas abaixo são convergentes ou divergentes.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se a série numérica é convergente ou divergente. A matéria que estamos usando aqui é sobre séries numéricas, especificamente sobre convergência e divergência de séries. Para resolver isso, vamos precisar entender os testes de convergência, como o teste da alternativa e verificar os termos da série.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na série que temos: . Isso significa que estamos somando infinitos termos que alternam entre positivo e negativo.

Passo 3

Vamos analisar o termo geral da série, que é . Aqui, o fator faz com que os termos alternem de sinal: positivo, negativo, positivo, e assim por diante.

Passo 4

Para verificar a convergência de uma série alternada, podemos usar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se os termos satisfazem duas condições:
  1. é decrescente.
  2. .
    Então, a série converge.

Passo 5

Vamos verificar a primeira condição: . Isso significa que o valor absoluto dos termos é sempre 3, que não está diminuindo. Então, a condição de que deve ser decrescente não é satisfeita.

Passo 6

Além disso, vamos calcular o limite dos termos: . Como continua alternando entre 1 e -1, o limite não existe, pois a sequência dos termos não se aproxima de nenhum valor específico.

Passo 7

Como pelo menos uma das condições do Teste da Série Alternada não é satisfeita (na verdade, ambas não são), podemos concluir que a série não converge pelo teste das séries alternadas.

Passo 8

Além disso, observamos que a série não satisfaz o Teste da Séries para Divergência, que afirma que se , então a série diverge. No nosso caso, o limite não existe, o que também indica divergência.

Resposta

Portanto, a série diverge.

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