Verifique se as séries numéricas abaixo são convergentes ou divergentes.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se a série numérica
é convergente ou divergente. A matéria que estamos usando aqui é sobre séries numéricas, especificamente sobre convergência e divergência de séries. Para resolver isso, vamos precisar entender os testes de convergência, como o teste da alternativa e verificar os termos da série.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na série que temos:
. Isso significa que estamos somando infinitos termos que alternam entre positivo e negativo.
Passo 3
Vamos analisar o termo geral da série, que é
. Aqui, o fator
faz com que os termos alternem de sinal: positivo, negativo, positivo, e assim por diante.
Passo 4
Para verificar a convergência de uma série alternada, podemos usar o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que se os termos
satisfazem duas condições:
-
é decrescente. -
.
Então, a série converge.
Passo 5
Vamos verificar a primeira condição:
. Isso significa que o valor absoluto dos termos é sempre 3, que não está diminuindo. Então, a condição de que
deve ser decrescente não é satisfeita.
Passo 6
Além disso, vamos calcular o limite dos termos:
. Como
continua alternando entre 1 e -1, o limite não existe, pois a sequência dos termos não se aproxima de nenhum valor específico.
Passo 7
Como pelo menos uma das condições do Teste da Série Alternada não é satisfeita (na verdade, ambas não são), podemos concluir que a série não converge pelo teste das séries alternadas.
Passo 8
Além disso, observamos que a série não satisfaz o Teste da Séries para Divergência, que afirma que se
, então a série diverge. No nosso caso, o limite não existe, o que também indica divergência.
Resposta
Portanto, a série
diverge.
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Verifique se as séries numéricas abaixo são convergentes ou divergentes.
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Usando os testes, verifique se as séries numéricas abaixo são convergentes ou divergentes.
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