Usando os testes, verifique se as séries numéricas abaixo são convergentes ou divergentes.
sumn=1^infty 2^nn^2+2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a série é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é ótimo para séries com , já que lidamos com termos que crescem exponencialmente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Esse teste diz que para uma série , calculamos o limite .
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste não é conclusivo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa série. Primeiro, identificamos .
Vamos calcular .

Passo 4

Agora, formamos a razão an+1an = 2^n+1(n+1)^2+22^nn^2+2 = 2^n+12^n cdot n^2+2(n+1)^2+2 = 2 cdot n^2+2n^2+2n+3 :

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando L = limn to infty 2 cdot n^2+2n^2+2n+3 tende ao infinito:
L = 2 cdot 1 + 2n^21 + 2n + 3n^2 = 2 cdot 1 + 01 + 0 + 0 = 2 cdot 1 = 2
Dividimos numerador e denominador por :

Resposta

Como , pela Regra do Teste da Razão, a série diverge.

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