Determine os valores de
para os quais as séries de potências a seguir são convergentes.
;
Passo 1
Beleza, vamos dar um jeito nesse exercício! A gente precisa descobrir para quais valores de
a série de potências
converge. Isso envolve entender um pouco sobre séries geométricas e como determinar o intervalo de convergência delas.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que a série
é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma
, onde
é o primeiro termo e
é a razão. No nosso caso, podemos reescrever a série como
onde
.
Passo 3
Sabemos que uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão
for menor que 1, ou seja,
. Se
, a série diverge. Então, para a nossa série, temos que
para que ela converja.
Passo 4
Agora, vamos resolver a inequação
. Isso significa que a distância de
até 0 é menor que 1. Podemos reescrever a inequação sem o valor absoluto como duas inequações:
Passo 5
Vamos resolver as duas partes da inequação:
Então, combinando as duas, temos que
.
Passo 6
Portanto, a série
converge para todos os valores de
que estão entre -2 e 0.
Resposta
A série converge para todos os valores de
tais que
.
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