Determine os valores de para os quais as séries de potências a seguir são convergentes.
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Passo 1

Beleza, vamos dar um jeito nesse exercício! A gente precisa descobrir para quais valores de a série de potências converge. Isso envolve entender um pouco sobre séries geométricas e como determinar o intervalo de convergência delas.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a série é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma , onde é o primeiro termo e é a razão. No nosso caso, podemos reescrever a série como onde .

Passo 3

Sabemos que uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, . Se , a série diverge. Então, para a nossa série, temos que para que ela converja.

Passo 4

Agora, vamos resolver a inequação . Isso significa que a distância de até 0 é menor que 1. Podemos reescrever a inequação sem o valor absoluto como duas inequações:

Passo 5

Vamos resolver as duas partes da inequação:
Então, combinando as duas, temos que .

Passo 6

Portanto, a série converge para todos os valores de que estão entre -2 e 0.

Resposta

A série converge para todos os valores de tais que .

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