Determine se as sequências a seguir são monótonas ou não-monótonas.
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Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por
e precisamos determinar se essa sequência é monótona, ou seja, se ela está sempre aumentando, sempre diminuindo ou se muda de comportamento. Para isso, vamos analisar como os termos da sequência se comportam conforme
aumenta.
Passo 2
Para verificar a monotonicidade, vamos comparar dois termos consecutivos da sequência:
e
. Se
para todo
, a sequência é crescente. Se
para todo
, a sequência é decrescente.
Vamos calcular
:
Agora, vamos encontrar a diferença
:
Para simplificar, vamos encontrar um denominador comum:
Expandindo os numeradores:
Simplificando:
Como o denominador
é sempre positivo para qualquer
natural, e o numerador é 19, que também é positivo, temos que:
Isso significa que cada termo é maior que o anterior.
Resposta
A sequência é monótona crescente.
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