Determine se as sequências a seguir são monótonas ou não-monótonas.
a_n = (3n - 1) / (4n + 5);

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por e precisamos determinar se essa sequência é monótona, ou seja, se ela está sempre aumentando, sempre diminuindo ou se muda de comportamento. Para isso, vamos analisar como os termos da sequência se comportam conforme aumenta.

Passo 2

Para verificar a monotonicidade, vamos comparar dois termos consecutivos da sequência: e . Se para todo , a sequência é crescente. Se para todo , a sequência é decrescente.
Vamos calcular :
Agora, vamos encontrar a diferença :
Para simplificar, vamos encontrar um denominador comum:
Expandindo os numeradores:
Simplificando:
Como o denominador é sempre positivo para qualquer natural, e o numerador é 19, que também é positivo, temos que:
Isso significa que cada termo é maior que o anterior.

Resposta

A sequência é monótona crescente.

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