Determine se as sequências a seguir são monótonas ou não-monótonas.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a sequência
é monótona ou não-monótona. Isso envolve entender o que são sequências monótonas na matemática. Vamos precisar analisar se os termos da sequência crescem ou decrescem de forma consistente conforme
aumenta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a sequência dada:
Aqui, temos dois componentes:
-
: que é uma função quadrática e sempre aumenta conforme aumenta. -
: que alterna entre positivo e negativo conforme é par ou ímpar.
Vamos separar a análise para valores pares e ímpares de
:
-
Quando
é par: Ambas as partes são positivas e aumentam conformecresce. -
Quando
é ímpar: Aqui,ainda domina o termo , então também aumenta conforme cresce, apenas de forma um pouco mais lenta comparado aos pares.
Agora, para verificar se a sequência inteira é monótona crescente, vamos calcular a diferença entre termos consecutivos:
Simplificando:
Observando que
, simplificamos mais:
Dependendo se
é par ou ímpar:
- Para
par: , então - Para
ímpar: , então
Em ambos os casos, a diferença é positiva, o que significa que cada termo seguinte é maior ou igual ao anterior.
Resposta
A sequência
é monótona crescente.
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