Determine se as sequências a seguir são monótonas ou não-monótonas.
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Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a sequência é monótona ou não-monótona. Isso envolve entender o que são sequências monótonas na matemática. Vamos precisar analisar se os termos da sequência crescem ou decrescem de forma consistente conforme aumenta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a sequência dada:
Aqui, temos dois componentes:
  1. : que é uma função quadrática e sempre aumenta conforme aumenta.
  2. : que alterna entre positivo e negativo conforme é par ou ímpar.
Vamos separar a análise para valores pares e ímpares de :
  • Quando é par:
    Ambas as partes são positivas e aumentam conforme cresce.
  • Quando é ímpar:
    Aqui, ainda domina o termo , então também aumenta conforme cresce, apenas de forma um pouco mais lenta comparado aos pares.
Agora, para verificar se a sequência inteira é monótona crescente, vamos calcular a diferença entre termos consecutivos:
Simplificando:
Observando que , simplificamos mais:
Dependendo se é par ou ímpar:
  • Para par: , então
  • Para ímpar: , então
Em ambos os casos, a diferença é positiva, o que significa que cada termo seguinte é maior ou igual ao anterior.

Resposta

A sequência é monótona crescente.

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  • .
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