Usando a fórmula
para os coeficientes da série de Taylor
, escreva a série de potências centrada em 0 gerada pela função
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a série de potências centrada em 0 para a função
. Para isso, vamos usar a fórmula dos coeficientes da série de Taylor, que nos permite expressar uma função como uma soma infinita de termos envolvendo suas derivadas no ponto de expansão, que, nesse caso, é
.
Passo 2
A função que estamos trabalhando é
, que é definida por:
Para encontrar os coeficientes da série de Taylor, precisamos calcular as derivadas de
no ponto
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e avaliá-las em
:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
- Terceira derivada:
- Quarta derivada:
Podemos notar que as derivadas de ordem ímpar de
avaliadas em 0 são iguais a 0, e as de ordem par são iguais a 1.
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula dos coeficientes da série de Taylor:
- Para
ímpar:
- Para
par:
Resposta
A série de potências centrada em 0 para
é então:
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Determine se a série abaixo é condicionalmente convergente, absolutamente convergente ou divergente.
Determine se as séries abaixo convergem ou divergem.
Sejam
com
e
. Prove que os intervalos abertos
e
são disjuntos se e somente se
ou
.
Encontre uma família de conjuntos
que satisfaz:
-
. -
. -
para quaisquer .