Usando a fórmula para os coeficientes da série de Taylor , escreva a série de potências centrada em 0 gerada pela função

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a série de potências centrada em 0 para a função . Para isso, vamos usar a fórmula dos coeficientes da série de Taylor, que nos permite expressar uma função como uma soma infinita de termos envolvendo suas derivadas no ponto de expansão, que, nesse caso, é .

Passo 2

A função que estamos trabalhando é , que é definida por:
Para encontrar os coeficientes da série de Taylor, precisamos calcular as derivadas de no ponto .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e avaliá-las em :
  1. Primeira derivada:
  1. Segunda derivada:
  1. Terceira derivada:
  1. Quarta derivada:
Podemos notar que as derivadas de ordem ímpar de avaliadas em 0 são iguais a 0, e as de ordem par são iguais a 1.

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula dos coeficientes da série de Taylor:
  • Para ímpar:
  • Para par:

Resposta

A série de potências centrada em 0 para é então:

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