Usando a fórmula cn=f^(n)(a)n! para os coeficientes da série de Taylor f(x)=sumn=0^infty cn(x-a)^n, escreva a série de potências centrada em 0 gerada pela função
cosh x=e^x+e^-x2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a série de potências centrada em 0 para a função . Para isso, vamos usar a fórmula dos coeficientes da série de Taylor, que nos permite expressar uma função como uma soma infinita de termos envolvendo suas derivadas no ponto de expansão, que, nesse caso, é .

Passo 2

A função que estamos trabalhando é cosh x = e^x + e^-x2 , que é definida por:
Para encontrar os coeficientes da série de Taylor, precisamos calcular as derivadas de no ponto .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de f'(x) = sinh x e avaliá-las em f'(0) = sinh 0 = 0 :
  1. Primeira derivada:
f''(x) = cosh x
f''(0) = cosh 0 = 1
  1. Segunda derivada:
f'''(x) = sinh x
f'''(0) = sinh 0 = 0
  1. Terceira derivada:
f''''(x) = cosh x
f''''(0) = cosh 0 = 1
  1. Quarta derivada:
Podemos notar que as derivadas de ordem ímpar de avaliadas em 0 são iguais a 0, e as de ordem par são iguais a 1.

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula dos coeficientes da série de Taylor:
cn = f^(n)(0)n!
  • Para cn = 0n! = 0 ímpar:
cn = 1n!
  • Para par:

Resposta

A série de potências centrada em 0 para cosh x = sumn=0^infty x^2n(2n)! = 1 + x^22! + x^44! + x^66! + cdots é então:

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