Sejam com e . Prove que os intervalos abertos e são disjuntos se e somente se ou .

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos dois intervalos abertos, e , onde e . O objetivo é provar que esses intervalos são disjuntos, ou seja, não têm elementos em comum, se e somente se ou . Para resolver isso, vamos usar conceitos de intervalos e desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa os intervalos e serem disjuntos. Dois conjuntos são disjuntos se não compartilham nenhum elemento em comum. No caso dos intervalos abertos, isso significa que não existe um número real que pertença a ambos.

Passo 3

Vamos provar a primeira parte: se ou , então os intervalos e são disjuntos.
  • Caso 1: Se , todo elemento de é menor que , e todo elemento de é maior que . Portanto, não há sobreposição entre os intervalos.
  • Caso 2: Se , todo elemento de é menor que , e todo elemento de é maior que . Novamente, não há sobreposição.
Assim, se ou , os intervalos são disjuntos.

Passo 4

Agora, vamos provar a outra direção: se os intervalos e são disjuntos, então necessariamente ou .
Suponha que os intervalos sejam disjuntos. Isso significa que não existe nenhum número tal que e ao mesmo tempo.
  • Se , para não haver sobreposição, devemos ter que . Mas como e , a única possibilidade para evitar sobreposição é .
Portanto, se os intervalos são disjuntos, então ou .

Resposta

Combinando as duas direções, concluímos que os intervalos abertos e são disjuntos se e somente se ou .

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