Sejam a, b, c, d in R com a < b e c < d. Prove que os intervalos abertos (a, b) e (c, d) são disjuntos se e somente se b < c ou d<a.

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos dois intervalos abertos, (a, b) e (c, d), onde e . O objetivo é provar que esses intervalos são disjuntos, ou seja, não têm elementos em comum, se e somente se ou . Para resolver isso, vamos usar conceitos de intervalos e desigualdades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa os intervalos (a, b) e (c, d) serem disjuntos. Dois conjuntos são disjuntos se não compartilham nenhum elemento em comum. No caso dos intervalos abertos, isso significa que não existe um número real que pertença a ambos.

Passo 3

Vamos provar a primeira parte: se ou , então os intervalos (a, b) e (c, d) são disjuntos.
  • Caso 1: Se , todo elemento de (a, b) é menor que c, e todo elemento de (c, d) é maior que c. Portanto, não há sobreposição entre os intervalos.
  • Caso 2: Se , todo elemento de (c, d) é menor que a, e todo elemento de (a, b) é maior que a. Novamente, não há sobreposição.
Assim, se ou , os intervalos são disjuntos.

Passo 4

Agora, vamos provar a outra direção: se os intervalos (a, b) e (c, d) são disjuntos, então necessariamente ou .
Suponha que os intervalos sejam disjuntos. Isso significa que não existe nenhum número x tal que e ao mesmo tempo.
  • Se , para não haver sobreposição, devemos ter que d <= a. Mas como e , a única possibilidade para evitar sobreposição é .
Portanto, se os intervalos são disjuntos, então ou .

Resposta

Combinando as duas direções, concluímos que os intervalos abertos (a, b) e (c, d) são disjuntos se e somente se ou .

Exercícios relacionados