Sejam
com
e
. Prove que os intervalos abertos
e
são disjuntos se e somente se
ou
.
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos dois intervalos abertos,
e
, onde
e
. O objetivo é provar que esses intervalos são disjuntos, ou seja, não têm elementos em comum, se e somente se
ou
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de intervalos e desigualdades.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa os intervalos
e
serem disjuntos. Dois conjuntos são disjuntos se não compartilham nenhum elemento em comum. No caso dos intervalos abertos, isso significa que não existe um número real que pertença a ambos.
Passo 3
Vamos provar a primeira parte: se
ou
, então os intervalos
e
são disjuntos.
-
Caso 1: Se
, todo elemento de é menor que , e todo elemento de é maior que . Portanto, não há sobreposição entre os intervalos. -
Caso 2: Se
, todo elemento de é menor que , e todo elemento de é maior que . Novamente, não há sobreposição.
Assim, se
ou
, os intervalos são disjuntos.
Passo 4
Agora, vamos provar a outra direção: se os intervalos
e
são disjuntos, então necessariamente
ou
.
Suponha que os intervalos sejam disjuntos. Isso significa que não existe nenhum número
tal que
e
ao mesmo tempo.
- Se
, para não haver sobreposição, devemos ter que . Mas como e , a única possibilidade para evitar sobreposição é .
Portanto, se os intervalos são disjuntos, então
ou
.
Resposta
Combinando as duas direções, concluímos que os intervalos abertos
e
são disjuntos se e somente se
ou
.
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para os coeficientes da série de Taylor
, escreva a série de potências centrada em 0 gerada pela função
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que satisfaz:
-
. -
. -
para quaisquer .
Seja
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, então
.