Use o teste da razão (discutido junto as séries de Maclaurin e Taylor) para determinar se a série converge ou diverge.
b) sumk=1^infty 4^kk^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma série infinita: . A matéria que vamos usar é o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar se uma série converge ou diverge. Para aplicar esse teste, precisamos calcular o limite da razão entre o termo geral da série e o próximo termo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da nossa série. Aqui, o termo geral é . Agora, vamos encontrar o termo seguinte, que é .

Passo 3

O próximo passo é calcular a razão entre ak+1ak = 4^k+1(k+1)^24^kk^2 = 4^k+1 cdot k^24^k cdot (k+1)^2 e ak+1ak = 4 cdot k^2(k+1)^2 :
Simplificando isso, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando limk to infty 4 cdot k^2(k+1)^2 = 4 cdot limk to infty (kk+1)^2 tende ao infinito:
4 cdot (1)^2 = 4
Sabemos que tende a 1 quando cresce, então:

Passo 5

De acordo com o Teste da Razão, se esse limite for maior que 1, a série diverge. Se for menor que 1, a série converge. Se for igual a 1, o teste é inconclusivo.
Aqui, , então a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo Teste da Razão.

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