Determine se a série abaixo converge. Caso afirmativo, determine a sua soma.
sumk=1^infty(12^k-12^k+1)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a série infinita sumk=1^infty(12^k-12^k+1) e precisamos determinar se ela converge, ou seja, se ela soma a um valor finito. Além disso, se convergir, queremos descobrir qual é esse valor. Para resolver isso, vamos usar o conceito de série telescópica, que é uma técnica que ajuda a simplificar a soma de séries onde muitos termos se cancelam.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir os primeiros termos da série para identificar um padrão. Vamos escrever os termos para alguns valores de (12^1 - 12^2) + (12^2 - 12^3) + (12^3 - 12^4) + cdots :

Passo 3

Agora, vamos observar o que acontece quando somamos esses termos. Note que termos semelhantes se cancelam:
12^1 - 12^2 + 12^2 - 12^3 + 12^3 - 12^4 + cdots
Veja que com se cancelam, assim como com , e assim por diante. Esse é o comportamento característico de uma série telescópica.

Passo 4

Após esse cancelamento, o que sobra é apenas o primeiro termo da série e o limite do último termo conforme 12^1 - limk to infty 12^k+1 = 12 - 0 = 12 tende ao infinito. No caso:
Aqui, porque cresce muito rapidamente, fazendo com que a fração se aproxime de zero.

Resposta

A série converge e a sua soma é 12.

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