Determine se a série abaixo converge. Caso afirmativo, determine a sua soma.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a série infinita
e precisamos determinar se ela converge, ou seja, se ela soma a um valor finito. Além disso, se convergir, queremos descobrir qual é esse valor. Para resolver isso, vamos usar o conceito de série telescópica, que é uma técnica que ajuda a simplificar a soma de séries onde muitos termos se cancelam.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir os primeiros termos da série para identificar um padrão. Vamos escrever os termos para alguns valores de
:
Passo 3
Agora, vamos observar o que acontece quando somamos esses termos. Note que termos semelhantes se cancelam:
Veja que
com
se cancelam, assim como
com
, e assim por diante. Esse é o comportamento característico de uma série telescópica.
Passo 4
Após esse cancelamento, o que sobra é apenas o primeiro termo da série e o limite do último termo conforme
tende ao infinito. No caso:
Aqui,
porque
cresce muito rapidamente, fazendo com que a fração se aproxime de zero.
Resposta
A série converge e a sua soma é
.
Exercícios relacionados
Seja
e considere o campo vetorial
.
Determine
Determine
Seja
(a) Mostre que
é derivável em
e calcule
.
© Se
, então
diverge.
Verifique se as funções
abaixo são diferenciáveis no ponto
.