Verifique se as funções f, g: R R abaixo são diferenciáveis no ponto x=2.
g(x)=ccx sen(pi x), & se x <= 2 (x^2+1) cos (pi x), & se x>2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que muda de fórmula quando é menor ou igual a 2 e quando é maior que 2. Nosso objetivo é verificar se essa função é diferenciável no ponto . Para isso, precisamos entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto, que basicamente é garantir que a derivada exista ali. Vamos precisar usar conceitos de derivadas e verificar se a derivada à esquerda e à direita de 2 são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que seja contínua em , porque se não for contínua, já não tem como ser diferenciável. Então, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 2 pela esquerda e pela direita e ver se são iguais ao valor da função em 2.

Passo 3

Para , a função é . Vamos calcular . Sabemos que , então .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando limx to 2^- g(x) = limx to 2^- x sen(pi x) = 2 sen(2pi) = 0 se aproxima de 2 pela esquerda:
E o limite pela direita:
limx to 2^+ g(x) = limx to 2^+ (x^2 + 1) cos(pi x) = (4 + 1) cos(2pi) = 5 times 1 = 5
Como os limites não são iguais, a função não é contínua em .

Passo 5

Já que a função não é contínua em , ela não pode ser diferenciável nesse ponto. A diferenciabilidade exige, antes de tudo, a continuidade.

Resposta

A função não é diferenciável no ponto .

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