Verifique se as funções
abaixo são diferenciáveis no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que muda de fórmula quando
é menor ou igual a 2 e quando
é maior que 2. Nosso objetivo é verificar se essa função é diferenciável no ponto
. Para isso, precisamos entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto, que basicamente é garantir que a derivada exista ali. Vamos precisar usar conceitos de derivadas e verificar se a derivada à esquerda e à direita de 2 são iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que
seja contínua em
, porque se não for contínua, já não tem como ser diferenciável. Então, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 2 pela esquerda e pela direita e ver se são iguais ao valor da função em 2.
Passo 3
Para
, a função é . Vamos calcular . Sabemos que , então
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando
se aproxima de 2 pela esquerda:
E o limite pela direita:
Como os limites não são iguais, a função
não é contínua em
.
Passo 5
Já que a função não é contínua em
, ela não pode ser diferenciável nesse ponto. A diferenciabilidade exige, antes de tudo, a continuidade.
Resposta
A função
não é diferenciável no ponto
.
Exercícios relacionados
© Se
, então
diverge.
Determine se a série abaixo converge. Caso afirmativo, determine a sua soma.
Determine se a série abaixo converge. Caso afirmativo, determine a sua soma.
Suponha que
e
. Encontre os valores de: