Seja
(a) Mostre que
é derivável em
e calcule
.
Passo 1
Aqui temos uma função definida por partes
e queremos verificar se ela é derivável em
. O conteúdo que vamos usar é cálculo diferencial, especificamente os conceitos de continuidade e derivabilidade. Para resolver isso, precisaremos verificar a continuidade de
em
e calcular as derivadas laterais nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a continuidade de
em
. Uma função é contínua em um ponto se o limite à esquerda, o limite à direita e o valor da função nesse ponto são iguais. Vamos calcular:
Como todos os três valores são iguais,
é contínua em
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada à esquerda de
em
. Isso significa calcular a derivada da expressão que define
para
:
Portanto,
Passo 4
Em seguida, calculamos a derivada à direita de
em
. Aqui, usamos a expressão que define
para
:
Assim,
Resposta
Como as derivadas à esquerda e à direita são iguais e
é contínua em
, a função
é derivável em
e a derivada é
.
Exercícios relacionados
© A série
(a) A série geométrica
( ) diverge
( ) diverge
Seja
e considere o campo vetorial
.
Determine
Determine
Determine se a série abaixo converge. Caso afirmativo, determine a sua soma.