Seja
g(x) = { x² + 2, x < 1; 2x + 1, x ≥ 1 }
(a) Mostre que g é derivável em x = 1 e calcule g'(1).

Passo 1

Aqui temos uma função definida por partes e queremos verificar se ela é derivável em . O conteúdo que vamos usar é cálculo diferencial, especificamente os conceitos de continuidade e derivabilidade. Para resolver isso, precisaremos verificar a continuidade de em e calcular as derivadas laterais nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a continuidade de em . Uma função é contínua em um ponto se o limite à esquerda, o limite à direita e o valor da função nesse ponto são iguais. Vamos calcular:
Como todos os três valores são iguais, é contínua em .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada à esquerda de em . Isso significa calcular a derivada da expressão que define para :
Portanto,

Passo 4

Em seguida, calculamos a derivada à direita de em . Aqui, usamos a expressão que define para :
Assim,

Resposta

Como as derivadas à esquerda e à direita são iguais e é contínua em , a função é derivável em e a derivada é .

Exercícios relacionados