Seja
(a) Mostre que é derivável em e calcule .

Passo 1

Aqui temos uma função definida por partes e queremos verificar se ela é derivável em . O conteúdo que vamos usar é cálculo diferencial, especificamente os conceitos de continuidade e derivabilidade. Para resolver isso, precisaremos verificar a continuidade de em e calcular as derivadas laterais nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a continuidade de em . Uma função é contínua em um ponto se o limite à esquerda, o limite à direita e o valor da função nesse ponto são iguais. Vamos calcular:
Como todos os três valores são iguais, é contínua em .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada à esquerda de em . Isso significa calcular a derivada da expressão que define para :
Portanto,

Passo 4

Em seguida, calculamos a derivada à direita de em . Aqui, usamos a expressão que define para :
Assim,

Resposta

Como as derivadas à esquerda e à direita são iguais e é contínua em , a função é derivável em e a derivada é .

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© A série
(a) A série geométrica
( ) diverge
Seja e considere o campo vetorial .
Determine
Determine se a série abaixo converge. Caso afirmativo, determine a sua soma.