Seja
e considere o campo vetorial
.
Determine
Determine
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a divergência do campo vetorial
, onde
. Estamos lidando com Cálculo Vetorial, mais especificamente com o conceito de divergência. Para resolver, vamos precisar saber como calcular a divergência de um campo vetorial em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o campo vetorial
de uma forma mais detalhada. Sabemos que
e
. Assim, podemos expressar
como:
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência de
é dada por:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de cada componente de
em relação à sua respectiva variável.
Passo 4
Vamos calcular cada derivada parcial separadamente:
- Para
:
Aplicando a regra do quociente (ou regra do produto se preferir), temos:
- Para
:
De forma similar:
- Para
:
E:
Passo 5
Agora, somamos todas essas derivadas parciais para obter a divergência:
Simplificando:
Sabemos que
, então substituindo:
Passo 6
Finalmente, juntando os termos:
Resposta
A divergência do campo vetorial
é:
Exercícios relacionados
Seja
(a) Mostre que
é derivável em
e calcule
.
© A série
Determine se a série abaixo converge. Caso afirmativo, determine a sua soma.
© Se
, então
diverge.