Seja e considere o campo vetorial .
Determine

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar a divergência do campo vetorial , onde . Estamos lidando com Cálculo Vetorial, mais especificamente com o conceito de divergência. Para resolver, vamos precisar saber como calcular a divergência de um campo vetorial em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o campo vetorial de uma forma mais detalhada. Sabemos que e . Assim, podemos expressar como:

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência de é dada por:
Então, precisamos calcular as derivadas parciais de cada componente de em relação à sua respectiva variável.

Passo 4

Vamos calcular cada derivada parcial separadamente:
  1. Para :
Aplicando a regra do quociente (ou regra do produto se preferir), temos:
  1. Para :
De forma similar:
  1. Para :
E:

Passo 5

Agora, somamos todas essas derivadas parciais para obter a divergência:
Simplificando:
Sabemos que , então substituindo:

Passo 6

Finalmente, juntando os termos:

Resposta

A divergência do campo vetorial é:

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Seja
(a) Mostre que é derivável em e calcule .
© A série
Determine se a série abaixo converge. Caso afirmativo, determine a sua soma.
© Se , então diverge.