Determine se a série abaixo converge. Caso afirmativo, determine a sua soma.
sumk=1^infty(23)^k+2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série converge. Se convergir, também precisamos achar a soma dela. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de séries geométricas, que envolve entender termos como razão da série e a soma das séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. A série fornecida é sumk=1^infty (23)^k+2 = (23)^2 sumk=1^infty (23)^k .
Podemos reescrever como .
Isso nos dá:

Passo 3

Agora, temos uma série geométrica na forma . Sabemos que uma série geométrica converge se a razão satisfaz . Nesse caso, , que é menor que 1, então a série converge.

Passo 4

Para encontrar a soma da série geométrica infinita, usamos a fórmula:
S = a1 - r
onde S = 231 - 23 = 2313 = 2 é o primeiro termo e é a razão.
No nosso caso, começamos a partir de , então o primeiro termo .
Portanto:

Passo 5

Lembrando que a série original tinha um fator (49) times 2 = 89 , então a soma total da série é:

Resposta

A série converge e a sua soma é .

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