Determine se a série abaixo converge. Caso afirmativo, determine a sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a série
converge. Se convergir, também precisamos achar a soma dela. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de séries geométricas, que envolve entender termos como razão da série e a soma das séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. A série fornecida é
.
Podemos reescrever
como
.
Isso nos dá:
Passo 3
Agora, temos uma série geométrica na forma
. Sabemos que uma série geométrica
converge se a razão
satisfaz
. Nesse caso,
, que é menor que 1, então a série converge.
Passo 4
Para encontrar a soma da série geométrica infinita, usamos a fórmula:
onde
é o primeiro termo e
é a razão.
No nosso caso, começamos a partir de
, então o primeiro termo
.
Portanto:
Passo 5
Lembrando que a série original tinha um fator
, então a soma total da série é:
Resposta
A série
converge e a sua soma é
.
Exercícios relacionados
Verifique se as funções
abaixo são diferenciáveis no ponto
.
© Se
, então
diverge.
Suponha que
e
. Encontre os valores de:
(a) A série geométrica
converge para