(a) A série geométrica 1 - 0,4/3 + 0,16/9 - 0,064/27 + ...
( ) converge para 5/7

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma série geométrica: e pergunta se essa série converge para . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série geométrica, identificar seu primeiro termo e a razão comum, e então usar a fórmula da soma infinita para verificar se a soma realmente é .

Passo 2

Primeiro, vamos recapitular o que é uma série geométrica. É uma sequência em que cada termo após o primeiro é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão comum ( ). A soma infinita de uma série geométrica é dada por:
onde é o primeiro termo e para que a série convirja.

Passo 3

Vamos identificar o primeiro termo ( ) da nossa série. Observando a série:
O primeiro termo é , então .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a razão comum ( ). Para isso, vamos dividir o segundo termo pelo primeiro:
Então, .

Passo 5

Vamos verificar se para confirmar que a série realmente converge. Calculando:
Como é menor que 1, podemos usar a fórmula da soma infinita.

Passo 6

Aplicando a fórmula da soma infinita:
Simplificando a fração:

Resposta

A série geométrica apresentada converge para , não para .

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