Determine se a série é absolutamente ou condicionalmente convergente.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a série e precisamos descobrir se ela é absolutamente ou condicionalmente convergente. Para isso, vamos precisar conhecer sobre séries geométricas e como testar a convergência delas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa que vamos considerar a série dos valores absolutos dos termos: .

Passo 3

Observamos que a série é uma série geométrica com razão . Sabemos que uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão é menor que 1, ou seja, se .

Passo 4

Como , a série geométrica converge. Portanto, a série dos valores absolutos também converge.

Passo 5

Já que a série dos valores absolutos converge, podemos afirmar que a série original é absolutamente convergente. Isso acontece porque a convergência absoluta implica na convergência da série original, independente do sinal dos termos.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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Use o teste da raiz para determinar se a série dada é convergente ou divergente.
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