Use o critério da raiz e da razão para verificar a convergência das séries. sumn=1^infty 1[ln (n+1)]^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o critério da raiz e o critério da razão para verificar se a série converge ou não. Esses critérios são ferramentas matemáticas que ajudam a determinar o comportamento de séries infinitas.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o critério da raiz. Esse critério nos diz que para uma série L = limn to infty raiz[n]|an| , a gente calcula o limite:
raiz[n]|an| = raiz[n]1[ln (n+1)]^n = 1ln (n+1)
Se L = limn to infty 1ln (n+1) = 0 , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, . Vamos calcular:
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Como , pelo critério da raiz, a série converge.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o critério da razão. Esse critério nos diz que para uma série L = limn to infty | an+1an | , a gente calcula o limite:
an+1an = 1[ln (n+2)]^n+11[ln (n+1)]^n = [ln (n+1)]^n[ln (n+2)]^n+1 = ( ln (n+1)ln (n+2) )^n cdot 1ln (n+2)
Se L = 0 < 1 , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Vamos calcular a razão entre os termos consecutivos da série:
Agora, vamos analisar cada parte separadamente:
  1. : Como cresce, é um pouco maior que , então essa fração é menor que 1 e, elevada a uma potência grande, tende a 0.
  2. : Também tende a 0 conforme cresce.
Multiplicando essas duas partes que tendem a 0, o limite total também será 0:
Portanto, pelo critério da razão, a série converge.

Resposta

A série converge pelos critérios da raiz e da razão.

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