Use o critério da raiz e da razão para verificar a convergência das séries.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o critério da raiz e o critério da razão para verificar se a série converge ou não. Esses critérios são ferramentas matemáticas que ajudam a determinar o comportamento de séries infinitas.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o critério da raiz. Esse critério nos diz que para uma série , a gente calcula o limite:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, . Vamos calcular:
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Como , pelo critério da raiz, a série converge.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o critério da razão. Esse critério nos diz que para uma série , a gente calcula o limite:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Vamos calcular a razão entre os termos consecutivos da série:
Agora, vamos analisar cada parte separadamente:
: Como cresce, é um pouco maior que , então essa fração é menor que 1 e, elevada a uma potência grande, tende a 0.
: Também tende a 0 conforme cresce.
Multiplicando essas duas partes que tendem a 0, o limite total também será 0:
Portanto, pelo critério da razão, a série converge.
Resposta
A série converge pelos critérios da raiz e da razão.