Use o critério da raiz e da razão para verificar a convergência das séries. sumn=1^infty n^nn!

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a série infinita sumn=1^infty n^nn! e precisamos verificar se ela converge ou diverge usando dois métodos: o Critério da Razão e o Critério da Raiz. Para isso, vamos precisar entender como aplicar esses critérios e calcular alguns limites.

Passo 2

Aplicando o Critério da Razão
O Critério da Razão é uma ferramenta para determinar a convergência de séries. Ele diz que, para uma série sum an, calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1an |
  • Se L < 1, a série converge.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o critério não é conclusivo.
Vamos aplicar isso à nossa série:
an = n^nn!
Calculando an+1:
an+1 = (n+1)^n+1(n+1)!
Agora, calculamos a razão an+1an:
an+1an = (n+1)^n+1(n+1)! cdot n!n^n = (n+1)^n+1n^n (n+1) = (1 + 1n)^n
Sabemos que:
limn to infty (1 + 1n)^n = e approx 2.718 > 1
Como L = e > 1, pelo Critério da Razão, a série diverge.

Passo 3

Aplicando o Critério da Raiz
O Critério da Raiz também ajuda a determinar a convergência de séries. Para uma série sum an, calculamos o limite:
L = limn to infty raiz[n]|an|
  • Se L < 1, a série converge.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o critério não é conclusivo.
Vamos aplicar isso à nossa série:
an = n^nn!
Calculamos raiz[n]an:
raiz[n]an = nraiz[n]n!
Sabemos que, por aproximação de Stirling:
n! approx n^n e^-n raiz2pi n
Então:
raiz[n]n! approx n e^-1 (2pi n)^12n approx n e^-1
Substituindo de volta:
raiz[n]an approx nn e^-1 = e
Portanto:
limn to infty raiz[n]an = e > 1
Segundo o Critério da Raiz, como L = e > 1, a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty n^nn! diverge segundo ambos os critérios da razão e da raiz.

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