Use o critério da raiz e da razão para verificar a convergência das séries.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos a série infinita e precisamos verificar se ela converge ou diverge usando dois métodos: o Critério da Razão e o Critério da Raiz. Para isso, vamos precisar entender como aplicar esses critérios e calcular alguns limites.

Passo 2

Aplicando o Critério da Razão
O Critério da Razão é uma ferramenta para determinar a convergência de séries. Ele diz que, para uma série , calculamos o limite:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o critério não é conclusivo.
Vamos aplicar isso à nossa série:
Calculando :
Agora, calculamos a razão :
Sabemos que:
Como , pelo Critério da Razão, a série diverge.

Passo 3

Aplicando o Critério da Raiz
O Critério da Raiz também ajuda a determinar a convergência de séries. Para uma série , calculamos o limite:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o critério não é conclusivo.
Vamos aplicar isso à nossa série:
Calculamos :
Sabemos que, por aproximação de Stirling:
Então:
Substituindo de volta:
Portanto:
Segundo o Critério da Raiz, como , a série diverge.

Resposta

A série diverge segundo ambos os critérios da razão e da raiz.

Exercícios relacionados

Determine se a série é absolutamente ou condicionalmente convergente.
Use o teste da raiz para determinar se a série dada é convergente ou divergente.
Use o critério da raiz e da razão para verificar a convergência das séries.
Use o critério da raiz e da razão para verificar a convergência das séries.