Use o teste da raiz para determinar se a série dada é convergente ou divergente. sumn=2^infty 1n(ln n)^3

Passo 1

Vamos dar uma olhada no exercício: usar o teste da raiz para descobrir se a série converge ou diverge. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o teste da raiz e aplicar esse conhecimento à série que temos aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da raiz. Ele nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge calculando o limite da raiz enésima do termo geral da série. A fórmula fica assim:
L = limn to infty raiz[n]|an|
Onde é o termo geral da série. A interpretação desse limite é:
  • Se : A série converge.
  • Se : A série diverge.
  • Se : O teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso à nossa série.

Passo 3

Identificamos o termo geral da série:
an = 1n(ln n)^3
Agora, aplicamos a fórmula do teste da raiz:
raiz[n]an = (1n(ln n)^3)^1n = 1n^1n cdot (ln n)^3n

Passo 4

Vamos calcular o limite quando limn to infty n^1n = 1 tende ao infinito:
  1. Para limn to infty (ln n)^3n = 1 :
    L = limn to infty raiz[n]an = 11 cdot 1 = 1
    Isso acontece porque a raiz enésima de tende a 1 conforme cresce.
  2. Para :
    Similarmente, a raiz enésima do logaritmo também tende a 1.
Portanto, combinando os dois resultados:

Passo 5

Como o limite , o teste da raiz é inconclusivo para esta série. Isso significa que, usando apenas o teste da raiz, não conseguimos determinar se a série converge ou diverge. Para saber ao certo, precisaríamos usar outro método, como o teste da integral ou o teste de comparação.

Resposta

O teste da raiz é inconclusivo para determinar se a série converge ou diverge.

Exercícios relacionados