Use o teste da raiz para determinar se a série dada é convergente ou divergente.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no exercício: usar o teste da raiz para descobrir se a série converge ou diverge. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o teste da raiz e aplicar esse conhecimento à série que temos aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da raiz. Ele nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge calculando o limite da raiz enésima do termo geral da série. A fórmula fica assim:
Onde é o termo geral da série. A interpretação desse limite é:
  • Se : A série converge.
  • Se : A série diverge.
  • Se : O teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso à nossa série.

Passo 3

Identificamos o termo geral da série:
Agora, aplicamos a fórmula do teste da raiz:

Passo 4

Vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
  1. Para :
    Isso acontece porque a raiz enésima de tende a 1 conforme cresce.
  2. Para :
    Similarmente, a raiz enésima do logaritmo também tende a 1.
Portanto, combinando os dois resultados:

Passo 5

Como o limite , o teste da raiz é inconclusivo para esta série. Isso significa que, usando apenas o teste da raiz, não conseguimos determinar se a série converge ou diverge. Para saber ao certo, precisaríamos usar outro método, como o teste da integral ou o teste de comparação.

Resposta

O teste da raiz é inconclusivo para determinar se a série converge ou diverge.

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Use o teste da comparação para verificar a convergência ou divergência das séries:
Determine se a série é absolutamente ou condicionalmente convergente.
Use o critério da raiz e da razão para verificar a convergência das séries.