Use o teste da raiz para determinar se a série dada é convergente ou divergente.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no exercício: usar o teste da raiz para descobrir se a série
converge ou diverge. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona o teste da raiz e aplicar esse conhecimento à série que temos aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da raiz. Ele nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge calculando o limite da raiz enésima do termo geral da série. A fórmula fica assim:
Onde
é o termo geral da série. A interpretação desse limite é:
- Se
: A série converge. - Se
: A série diverge. - Se
: O teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso à nossa série.
Passo 3
Identificamos o termo geral da série:
Agora, aplicamos a fórmula do teste da raiz:
Passo 4
Vamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
-
Para
: Isso acontece porque a raiz enésima detende a 1 conforme cresce. -
Para
: Similarmente, a raiz enésima do logaritmo também tende a 1.
Portanto, combinando os dois resultados:
Passo 5
Como o limite
, o teste da raiz é inconclusivo para esta série. Isso significa que, usando apenas o teste da raiz, não conseguimos determinar se a série converge ou diverge. Para saber ao certo, precisaríamos usar outro método, como o teste da integral ou o teste de comparação.
Resposta
O teste da raiz é inconclusivo para determinar se a série
converge ou diverge.
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