Use o teste da raiz para determinar se a série dada é convergente ou divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o teste da raiz para descobrir se a série
converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é séries infinitas e, mais especificamente, o teste da raiz pra analisar a convergência delas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da raiz. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série infinita analisando a raiz enésima do termo geral da série. A regra é a seguinte:
Seja a série
. Calculamos:
- Se
, a série converge absolutamente. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é indeterminado e precisamos usar outro método.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa série. O termo geral
da série é:
Vamos calcular a raiz enésima desse termo:
Passo 4
Para facilitar, vamos separar a expressão:
Agora, vamos analisar cada parte separadamente.
Passo 5
Primeiro, vamos calcular
. Conforme
cresce,
se comporta como
, então:
Isso porque, para qualquer constante
,
.
Passo 6
Agora, vamos calcular
. Similarmente, para grandes valores de
,
se comporta como
, então:
Sabemos que
quando
, então:
Passo 7
Agora, voltando à expressão original:
Resposta
Como
, o teste da raiz é indeterminado para esta série. Portanto, não podemos concluir a convergência ou divergência usando apenas esse teste. É necessário utilizar outro método para determinar o comportamento da série.
Exercícios relacionados
Use o teste da comparação para verificar a convergência ou divergência das séries:
Utilize indução matemática para justificar a seguinte identidade:
Utilize essa informação para concluir que a série
é convergente. Calcule o valor desta soma.
Use o teste da raiz para determinar se a série dada é convergente ou divergente.
Determine se a série é absolutamente ou condicionalmente convergente.