Use o teste da raiz para determinar se a série dada é convergente ou divergente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o teste da raiz para descobrir se a série converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é séries infinitas e, mais especificamente, o teste da raiz pra analisar a convergência delas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da raiz. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série infinita analisando a raiz enésima do termo geral da série. A regra é a seguinte:
Seja a série . Calculamos:
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é indeterminado e precisamos usar outro método.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa série. O termo geral da série é:
Vamos calcular a raiz enésima desse termo:

Passo 4

Para facilitar, vamos separar a expressão:
Agora, vamos analisar cada parte separadamente.

Passo 5

Primeiro, vamos calcular . Conforme cresce, se comporta como , então:
Isso porque, para qualquer constante , .

Passo 6

Agora, vamos calcular . Similarmente, para grandes valores de , se comporta como , então:
Sabemos que quando , então:

Passo 7

Agora, voltando à expressão original:

Resposta

Como , o teste da raiz é indeterminado para esta série. Portanto, não podemos concluir a convergência ou divergência usando apenas esse teste. É necessário utilizar outro método para determinar o comportamento da série.

Exercícios relacionados

Use o teste da comparação para verificar a convergência ou divergência das séries:
Utilize indução matemática para justificar a seguinte identidade:
Utilize essa informação para concluir que a série é convergente. Calcule o valor desta soma.
Use o teste da raiz para determinar se a série dada é convergente ou divergente.
Determine se a série é absolutamente ou condicionalmente convergente.