Use o teste da raiz para determinar se a série dada é convergente ou divergente. sumn=1^infty 2 n+3(n^2+3 n)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o teste da raiz para descobrir se a série converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é séries infinitas e, mais especificamente, o teste da raiz pra analisar a convergência delas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o teste da raiz. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série infinita analisando a raiz enésima do termo geral da série. A regra é a seguinte:
Seja a série L = limn to infty raiz[n]|an| . Calculamos:
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é indeterminado e precisamos usar outro método.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa série. O termo geral an = 2n + 3(n^2 + 3n)^2 da série é:
raiz[n]|an| = raiz[n]2n + 3(n^2 + 3n)^2
Vamos calcular a raiz enésima desse termo:

Passo 4

Para facilitar, vamos separar a expressão:
raiz[n]2n + 3(n^2 + 3n)^2 = raiz[n]2n + 3(raiz[n]n^2 + 3n)^2
Agora, vamos analisar cada parte separadamente.

Passo 5

Primeiro, vamos calcular limn to infty raiz[n]2n + 3 = 1 . Conforme cresce, se comporta como , então:
Isso porque, para qualquer constante , .

Passo 6

Agora, vamos calcular limn to infty raiz[n]n^2 + 3n = limn to infty raiz[n]n^2 = limn to infty n^2/n . Similarmente, para grandes valores de n^2/n = (n^1/n)^2 to 1^2 = 1 , se comporta como , então:
Sabemos que quando , então:

Passo 7

Agora, voltando à expressão original:
L = limn to infty raiz[n]2n + 3(raiz[n]n^2 + 3n)^2 = 11^2 = 1

Resposta

Como , o teste da raiz é indeterminado para esta série. Portanto, não podemos concluir a convergência ou divergência usando apenas esse teste. É necessário utilizar outro método para determinar o comportamento da série.

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