Mostre que o limite não existe. lim (x, y) (0,0) 2 x yx^2+3 y^2

Passo 1

Ok, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que o limite não existe. Isso significa que precisamos provar que, conforme se aproxima de , o valor da expressão não se aproxima de um único número específico. Para fazer isso, vamos precisar entender sobre limites em funções de duas variáveis e como analisar diferentes caminhos de aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher dois caminhos diferentes pelos quais pode se aproximar de . Um caminho comum é ao longo dos eixos coordenados, mas para este exemplo, vamos escolher:
  1. Caminho 1: (aproximando-se ao longo do eixo )
  2. Caminho 2: (aproximando-se pela linha )

Passo 3

Vamos calcular o limite em cada um desses caminhos:
Caminho 1: 2 x cdot 0x^2 + 3 cdot 0^2 = 0x^2 = 0
Substituindo 2 x cdot xx^2 + 3 x^2 = 2 x^24 x^2 = 24 = 12 na função:
Então, ao se aproximar de pelo caminho , o limite é .
Caminho 2:
Substituindo na função:
Então, ao se aproximar de pelo caminho , o limite é .

Passo 4

Agora, observamos que os limites ao longo dos dois caminhos são diferentes:
  • Pelo caminho , o limite é .
  • Pelo caminho , o limite é .
Como os limites dependem do caminho escolhido e não são iguais, podemos concluir que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe porque os valores do limite diferem dependendo do caminho pelo qual se aproxima de .

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