Mostre que o limite não existe.
Passo 1
Ok, vamos lá! A questão pede para mostrarmos que o limite
não existe. Isso significa que precisamos provar que, conforme
se aproxima de
, o valor da expressão não se aproxima de um único número específico. Para fazer isso, vamos precisar entender sobre limites em funções de duas variáveis e como analisar diferentes caminhos de aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher dois caminhos diferentes pelos quais
pode se aproximar de
. Um caminho comum é ao longo dos eixos coordenados, mas para este exemplo, vamos escolher:
- Caminho 1:
(aproximando-se ao longo do eixo ) - Caminho 2:
(aproximando-se pela linha )
Passo 3
Vamos calcular o limite em cada um desses caminhos:
Caminho 1:
Substituindo
na função:
Então, ao se aproximar de
pelo caminho
, o limite é
.
Caminho 2:
Substituindo
na função:
Então, ao se aproximar de
pelo caminho
, o limite é
.
Passo 4
Agora, observamos que os limites ao longo dos dois caminhos são diferentes:
- Pelo caminho
, o limite é . - Pelo caminho
, o limite é .
Como os limites dependem do caminho escolhido e não são iguais, podemos concluir que o limite geral não existe.
Resposta
O limite
não existe porque os valores do limite diferem dependendo do caminho pelo qual
se aproxima de
.
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.