Vamos resolver o primeiro exercício: determinar se a série converge ou diverge. A matéria que vamos usar aqui é o Teste da Razão, que nos ajuda a verificar a convergência de séries com termos envolvendo potências.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que se :
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Aqui, nosso termo geral é .
Vamos calcular :
Para simplificar, podemos aproximar os termos de maior grau no numerador e denominador:
Então:
Como , pela Razão, a série converge.
Passo 3
Agora, vamos para a segunda série: . O conteúdo envolvido aqui é o Teste da Comparação, que nos ajuda a comparar a série com outra conhecida para determinar a convergência.
Passo 4
Vamos comparar nossa série com a série . Sabemos que, para , , então:
A série é semelhante à série , que sabemos que converge porque as fatoriais crescem muito rapidamente, fazendo os termos tenderem a zero rapidamente.
Como todos os termos da nossa série original são menores ou iguais aos termos de uma série que converge, pela Comparação, nossa série também converge.
Passo 5
Por último, vamos analisar a terceira série: . Para essa série, vamos utilizar o Teste da Integral, que nos ajuda a determinar a convergência verificando a integral correspondente.
Passo 6
Primeiro, observamos que cresce sem limites à medida que aumenta, mas vamos ver se cresce rápido o suficiente para que os termos da série tendam a zero rapidamente.
Aplicamos o Teste da Integral. Consideramos a função para . Vamos calcular a integral:
Fazendo a substituição , temos , o que não facilita a integração. No entanto, sabemos que cresce mais lentamente que qualquer potência de . Então, a integral diverge, já que diminui mais lentamente que , e diverge.
Portanto, pela Teste da Integral, a série diverge.