Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
13+1 cdot 43 cdot 5+1 cdot 4 cdot 73 cdot 5 cdot 7+1 cdot 4 cdot 7 cdot 103 cdot 5 cdot 7 cdot 9+cdots
+1 cdot 4 cdot 7 cdot cdots cdot(3 n-2)3 cdot 5 cdot 7 cdot cdots cdot(2 n+1)+cdots

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita assim:
13 + 1 cdot 43 cdot 5 + 1 cdot 4 cdot 73 cdot 5 cdot 7 + 1 cdot 4 cdot 7 cdot 103 cdot 5 cdot 7 cdot 9 + cdots + 1 cdot 4 cdot 7 cdot dots cdot (3n - 2)3 cdot 5 cdot 7 cdot dots cdot (2n + 1) + cdots
Queremos descobrir se essa série converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de séries infinitas e critérios de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é o termo geral dessa série. Observando os numeradores e denominadores, percebemos que:
  • No numerador: temos um produto que aumenta de 3 em 3 começando com 1, ou seja, an = 1 cdot 4 cdot 7 cdot dots cdot (3n - 2)3 cdot 5 cdot 7 cdot dots cdot (2n + 1).
  • No denominador: temos um produto que aumenta de 2 em 2 começando com 3, ou seja, .
Então, o termo geral pode ser escrito como:

Passo 3

Agora, para saber se a série converge ou diverge, vamos usar o Teste da Razão (Teste de D’Alembert). Esse teste é super útil quando temos termos que envolvem produtos ou fatores que crescem com n.
O Teste da Razão diz que:
L = limn to infty | an+1an |
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste não dá uma resposta clara e precisamos usar outro método.

Passo 4

Vamos calcular essa razão an+1an = 1 cdot 4 cdot 7 cdot dots cdot (3(n+1) - 2)3 cdot 5 cdot 7 cdot dots cdot (2(n+1) + 1) times 3 cdot 5 cdot 7 cdot dots cdot (2n + 1)1 cdot 4 cdot 7 cdot dots cdot (3n - 2) :
an+1an = 3(n+1) - 22(n+1) + 1 = 3n + 3 - 22n + 2 + 1 = 3n + 12n + 3
Os termos que se repetem no numerador e denominador vão se cancelar, sobrando:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite L = limn to infty 3n + 12n + 3 quando L = limn to infty 3 + 1n2 + 3n = 32 tende ao infinito:
Dividindo cada termo por :

Passo 6

A gente encontrou que , que é maior que 1. Segundo o Teste da Razão, quando , a série diverge.

Resposta

A série é divergente.

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